(II)第6章 平面运动刚体上各点的运动分析

第6章平面运动刚体上各点的运动分析1.掌握平面运动刚体上各点的速度和加速度分析方法；2.熟悉刚体绕平行轴转动的合成计算。学习要求：刚体的平面运动是工程上常见的一种运动，也是一种较为复杂的运动。刚体的平面运动可以分解为刚体的平动和定轴转动，因此可以采用合成运动的理论，根据刚体的平动和定轴转动推导出平面运动刚体上一点的速度和加速度计算公式。§6-1平面运动刚体上各点的速度分析例如：曲柄连杆机构中连杆AB的运动。一、平面运动刚体整体运动的描述A点作圆周运动，B点作直线运动，AB是平面运动。刚体的平面运动可以简化为平面图形S在其自身平面内的运动。因此在研究平面运动时，不需考虑刚体的形状和尺寸，只需确定平面图形S上各点的速度和加速度。为了确定平面图形S的运动，建立一静系Oxy，在图形上任取一点A(称为基点)，并取任一线段AB，只要确定了AB的位置，S的位置也就确定了。)()()(321tftfytfxAAAxAyAB任意线段AB的位置（即平面图形S的位置）决定于xA，yA，三个独立的参变量。当平面图形运动时，它们是时间t的单值连续函数。AxAyAB过基点A作一平动的坐标系Ax’y’，并且该动系Ax’y’与基点A通过铰链连接，则有：由上式知：若xA，yA为常量，则平面图形作定轴转动。若为常量，则平面图形作平动。平面图形的运动（绝对运动）=图形随动系（基点A）的平动（牵连运动）+图形相对于动系绕基点的转动（相对运动）注意：动系在基点处与刚体铰接，并且作平动；平面图形相对于基点可以进行转动。xy随基点A的平动车轮的平面运动可以看成是车轮随同车厢的平动和相对车厢的转动的合成例如：车轮的运动。车轮（动点）对于静系的平面运动（绝对运动）车厢（动系Oxy）相对静系的平动（牵连运动）车轮（动点）相对车厢（动系Oxy）的转动（相对运动）O车轮的平面运动绕基点A'的转动一点、二系、三运动一点：动点二系：静系（定系）；动系三运动：绝对、牵连、相对由以上例题可以看出，平面图形随基点的牵连平动与基点的选择有关，而绕基点的相对转动与基点的选取无关（即在同一瞬间，图形绕任一基点转动的α，ω都是相同的）。速度v和加速度a为平面运动刚体的平移特征量，ω和α为其转动特征量。基点的选取是任意的，通常选取运动情况已知的点作为基点。返回首页点的速度合成定理动点的绝对速度等于它的牵连速度与相对速度的矢量和。这就是点的速度合成定理，即reavvv牵连运动为平移时，点的加速度合成定理当牵连运动为平移时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和，即reaaaa根据速度合成定理：reaVVV则Ｂ点速度为：BAABVVV二．基点法求平面运动刚体上的速度分布（合成法）BArAeBaVVVVVV;;取A为基点，将动系铰接于A点，动系作平动。则动点B点的运动可视为牵连运动为平动和相对运动为圆周运动的合成：其中：VBA大小为vBA=·AB，方位：⊥AB，与转向一致。已知：图形S内一点A的速度VA,图形角速度ω，求：VB。ABAABBVV即平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影等，这就是速度投影定理。利用这个定理求平面图形上点的速度的方法称为速度投影法。即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动的速度的矢量和。这种求解速度的方法称为基点法，也称为合成法。它是求解平面图形内一点速度的基本方法。三．速度投影定理将基点法合成公式在AB上投影：BAABVVV待求点基点coscosABvv平面图形S，某瞬时其上一点O速度vo，图形角速度ω，沿vo方向取一直线OL，然后顺ω的转向转90º至OL‘的位置，在OL’上取长度OI=vo/ω则：2.瞬时速度中心（简称速度瞬心）OIOvOIv方位⊥IO，指向与VO相反。VI=VO+VIO=0四．瞬心法求速度分布1.问题的提出若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算会大大简化。于是，自然会提出，在某一瞬时图形是否有一点速度等于零？如果存在的话，该点如何确定？即VA大小：vA=AI·ω即在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零，该点称为平面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心（I）。平面图形的运动可以看成是绕一系列速度瞬心作瞬时转动。３．瞬时转动中心（即速度瞬心）设某瞬时平面图形的角速度为，速度瞬心在I点。以I点为基点，有：AIAIIAVVVV同理：MIMVV即平面图形上任一点的速度，就是该点随图形绕该瞬时图形的速度瞬心转动的速度。方向：⊥AI与一致注意：速度瞬心的加速度不为于零。4．确定速度瞬心位置的方法①已知图形上一点的速度VA和图形角速度ω，则速度瞬心为：AAVAIvAI,/②已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚动（或称纯滚动）,则图形与固定面的接触点I为速度瞬心。且I在VA顺ω转向绕A点转90º的方向一侧。③已知某瞬间平面图形上A、B两点速度VA、VB的方向，且VA不平行于VB，则过A,B两点分别作速度的垂线，交点I即为该瞬间的速度瞬心。I④已知某瞬时图形上A，B两点速度大小VA、VB，且VA┴AB，VB┴AB，则速度瞬心如图。BIvAIvBA对③和④均有：(b)(a)II⑤已知某瞬时图形上A，B两点的速度方向相同，且不与AB连线垂直。此时，图形的瞬心在无穷远处，图形的角速度=0，图形上各点速度相等，这种情况称为瞬时平动(此时各点的加速度不相等)。对于④(a)的情况，若VA＝VB，也是瞬时平动。返回首页ODCBAvO例1已知半径为R的圆轮在直线轨道上作纯滚动。轮心速度为vO。求：轮缘上A、B、C、D四点的速度。ODCBAvOI解：圆轮与地面接触点A，由于没有相对滑动，因而在这一瞬时，A点的速度vA＝0。A点即为速度瞬心I。假设这一瞬时的角速度为。由vO＝R得到RvO0022vvvvDC,02,0vvvBA7.4例题分析解：机构中，OA作定轴转动，AB作平面运动，滑块B作平动。①基点法（合成法）()llABvllvvllvvBAABABAAB//45tgtg)(245cos/cos/[例2]已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，曲柄OA以匀转动。求：当=45º时,滑块B的速度及AB杆的角速度。研究AB杆，以A为基点，则vA=l·ω，方向如图所示。根据VB=VA+VBA，在B点作速度平行四边形。研究AB杆，已知VA，VB的方向，因此可确定出速度瞬心为I点。I)(2//,lBIvllAIvlAIlvABBAABA()ABAABBVVABvv)90cos()(2sin/lvvAB②速度投影法研究AB杆，vA=l·ω，方向OA，vB方向沿BO直线，根据速度投影定理③速度瞬心法返回首页例3四连杆机构中曲柄OA长r，连杆AB长2r，摇杆O1B长。在图示瞬时，四连杆机构中的点O、B和O1位于同一水平线上，而曲柄OA与水平线垂直。如曲柄的角速度为O角，求点B的速度。r32A、B两点速度方向已知OArvABArvOAB从A、B两点分别作vA、vB的垂线，其交点O即为AB杆在该瞬时的瞬心ABBOBvOr3OB的速度解：杆OC、楔块M均作平动，圆盘作平面运动，速度瞬心为I。cm/s12vvA)(m/s343230sin4sinrIOvOCm72120cos222OBIOOBIOIB)(m/s3.182143272IBIBvB[例3]在图示平面机构中,楔块M的倾角=30º，v=12cm/s；盘：r=4cm，与楔块间无滑动。求圆盘的ω及轴OC的速度和B点速度。rad/s3230cos4/12cos/12/rIAvA()§3-2平面运动刚体上各点的加速度分析取A为基点，将平动坐标系铰接于A点，取B点为动点，则B点的运动分解为相对运动为圆周运动和牵连运动为平动。nBABABArAeBaaaaaaaaa;;根据加速度合成定理：reaaaanBABAABaaaa一.基点法已知：图形S内一点A的加速度aA和图形的ω,α（某一瞬时）。求：该瞬时图形上任一点B的加速度。则B点的加速度为：AB，指向与α一致ABaBA2ABanBAα方向：B→A[注]①一般情况下，加速度瞬心与速度瞬心不是同一个点。②一般情况下，对于加速度没有类似于速度投影定理的关系式，即ABBABAaa即若平面图形在运动过程中某瞬时的角速度等于零，则该瞬时图形上任意两点的加速度在这两点连线上的投影相等。ABBABAaa二．加速度瞬心若某瞬时图形=0,即瞬时平动,则有由于的大小和方向随B点的不同而不同,所以总可以在图形内找到一点Q，在此瞬时，相对加速度的大小恰与基点A的加速度等值反向，其绝对加速度。Q点就称为图形在该瞬时的加速度瞬心。QAaAa0QanBABAaa,③由于加速度瞬心的位置不象速度瞬心那样容易确定，且一般情况下又不存在类似于速度投影定理的关系式，故常采用基点法求图形上各点的加速度或图形角加速度。RvO（）解：轮O作平面运动，I为速度瞬心由于此式在任何瞬时都成立，且O点作直线运动，故而RadtdvRdtdOO1（）[例题]半径为R的车轮沿直线作纯滚动,已知轮心O点的速度VO及加速度，求车轮与轨道接触点I的加速度。OaIαIα由此看出，速度瞬心I的加速度并不等于零，即它不是加速度瞬心。当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，其速度瞬心I的加速度指向轮心。以O点为基点，则根据基点法有nIOIOoIaaaaIOOI将上式分别向x、y轴投影：0IOOIxaaaRvaaOnIOIy/2OIRvaOI方向：,/2OaIOanIOaxy大小：×√RαRω2√×方向：解：取杆AB上的A点为动点，动系固连在凸轮上。例题：已知：凸轮半径为R，水平移动速度和加速度分别为vO，aO。求：φ=60°时，顶杆AB加速度。由作速度平行四边形reavvv（1）求rv：va=?，方位：AB；av：ve=v0，方向：→。ev：vr=?，方位：CA;rv003260sinsinvvvvoer（2）求aABaa：aa=?，方位：AB，指向：假设：arτ=?，方位CA，指向：假设方向：A→C：ae=a0,方向：→RvRvarnr34202aaeara注意：加速度的指向一般为假设；加速度图要与速度图分开画；加速度矢量方程的投影是等式两端的投影。n因牵连运动为平动，故有nreaaaaar将上式向n轴投影，得nreaaaacossinABnreaaRvaaaa)38(33sin)cos(200例题1：刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的一端A与滑块用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转动时，滑块在摇杆O1B上滑动，并带动杆O1B绕定轴O1摆动。设曲柄长为OA=r，两轴间距离OO1=l。求：曲柄在水平位置时摇杆的角速度ω1。2、运动分析：sinsinrvvae22211rlrAOve已知：ω，OA=r，OO1=l，OA水平。求ω1=?√√√3、求ω1值解：1、动点：滑块A动系：摇杆O1B绝对运动－绕O点的圆周运动；相对运动－沿O1B的直线运动；牵连运动－绕O1轴定轴转动。作业P1906.5，6.21