二次函数实践与探索1

实践与探索(一)辉县孟庄中心校范家明1.我们探究发现的二次函数的表达式有哪些？它们的图象和性质有什么联系与区别？2.谈谈你对借助数学建模思想解决实际问题的认识.复习回忆：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，在柱子顶端A处安装一个喷头向外喷水.柱子（连喷头在内）在水面以上部分高为1.25m，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线落下，如图1所示.应用探究：问题1问题1根据设计要求，如图2，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间应满足⑴喷出的水流距水平面的最大高度是多少？⑵如果不计其他因素，为使水不溅落在水池外，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？2524yxxAOAOyx最大高度顶点纵坐标实际问题与函数知识的对应∴最大高度为2.25m函数顶点坐标的意义喷出的水流距水平面的最大高度是多少？2524yxx2524yxx由配方得，2914yx（）思路：实际问题转化成数学问题yxAOＢ水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？分析题意：水池为圆形，O点在中央，喷水的落点离开圆心的距离相等。AOyx最小半径线段ＯＢ的长度(Ｂ点的横坐标)∴最小半径为２.5m自变量的取值范围的实际意义ＢＣ令y＝０,即舍去水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？(负值不合题意,舍去)252=04xx122.5,0.5xx解：⑴配方得，29(1)4yx2524yxx94∴抛物线的顶点为（1，）∴喷出的水流距水平面的最大高度是2.25米⑵把y=0代入得，25204xx解这个方程得122.5,0.5xx∴池的半径至少为2.5米才能使喷出的水流都落在水池内.负值舍去2425yxx一个涵洞成抛物线型，它的截面如图.现测得，当水面宽AB=1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m，这时，离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1m？问题2：思路：转化思想的应用；分析：构建合适的函数关系式.思路分析：涵洞宽ED=2DF,DF的长就是抛物线上D点的横坐标；解：设抛物线的解析式为：2yax22.40.8a154a根据题意知B点的坐标为：（0.8，-2.4）把（0.8，-2.4）代入解析式得，∴2154yx0.9y2154yx0.24x20.240.46ED0.240.5∴ED﹤2×0.5=1把代入得，课本28页练习中原汽车城销售某种型号的汽车，每辆进价为25万元，市场调研表明：当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆，如果每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元.（销售利润=销售价－进价）（1）求y与x的函数关系式；在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围.（2）假设这种汽车平均每周的销售利润为z与x之间的函数关系式.（3）当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利益最大？最大利润是多少？拓展应用：分析解答：⑴因为，所以⑵由题意，得⑶配方，得32248445.082xxxxxz2925yx4(04)yxx502382xz通过今天的探究学习，谈谈你有什么收获？（数学建模思想的应用；转化思想的应用.）小结：一双能用数学视角观察世界的眼睛；一个能用数学思维思考世界的头脑。思路分析：思路：实际问题转化成数学问题分析：5422xxy1、水流距水平面的最大高度就是抛物线的最高点，二次函数的最大值2、池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内，就是抛物线与正半轴的焦点的横坐标