2018年中考数学第一轮复习---二次函数

第1页共13页2018年中考数学第一轮复习---二次函数及其综合应用(部分难题附答案)【中考目标】1.理解二次函数的概念;会用描点法画二次函数的图象；利用二次函数的图象，理解二次函数的增减性、最值；会求解析式中字母的值等；2.会把二次函数的一般式化为顶点式，会确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向;3.掌握二次函数平移的规律；4.掌握二次函数与一元二次方程的关系;会用待定系数法求二次函数的解析式;5.掌握二次函数、一次函数、反比例函数中的两个函数图像交点的意义并运用；6.会分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值；7.掌握二次函数与平面图形等知识的综合应用.【中考知识清单】一、二次函数的定义：一般地,如果y=（a、b、c是常数,a≠0）那么y叫做x的二次函数.二、二次函数的图象和性质：1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条，其顶点坐标为对称轴是2、在抛物y=ax2+bx+c(a≠0)中：当a0时，开口向，当x-2ba时，y随x的增大而，当x时，y随x的增大而增大;当a0时，开口向当x-2ba时，y随x增大而增大，当x时，y随x增大而减小.注意如下图几个特殊形式的抛物线的特点，分别写出它们的表达式：(1)，⑵，⑶，（4）.三、二次函数的三种表达式1.一般式：（a,b,c为常数，a≠0）2.顶点式：（a≠0，a、h、k为常数），它直接显示二次函数的顶点坐标是.3.两根式：（a≠0，a、1x、2x为常数），其中1x、2x是图象第2页共13页与x轴交点的横坐标.4.三种表达式之间的关系：顶点式配方一般式因式分解两根式四、二次函数图象的平移二次函数的平移问题本质可看作是顶点问题的平移,要掌握抛物线的平移，只要找准顶点平移即可.五、二次函数y=ax2+bx+c的图象与字母系数之间的关系：a:开口方向：向上则a0,向下则a0｜a｜越大，开口越b:对称轴位置，与a、b联系，用；判断b=0时，对称轴是xkb1.comc:与y轴的交点：交点在y轴正半轴上，则c0；负半轴上则c0；当c=0时，抛物过点d:特殊值判断：在抛物线y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=;当x=-1时y=,经常根据对应的函数值判考a+b+c和a-b+c的符号.六、二次函数与一元二次方程、不等式的关系二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点交点的是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解．二次函数图象与x轴交点个数b2－4ac＞0二次函数图象与x轴有______个交点．b2－4ac＝0二次函数图象与x轴有______个交点．b2－4ac＜0二次函数图象与x轴______交点．二次函数图象与不等式利用图象求不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0的解集.【合作探究】考点一：二次函数的定义应用例1、设122mmmxy是二次函数，且图像抛物线的开口向下，则m=_________.考点二、二次函数的图象及性质例2、对于二次函数y=2（x+1）（x-3），下列说法正确的是（）A．图象的开口向下B．当x＞1时，y随x的增大而减小C．当x＜1时，y随x的增大而减小D．图象的对称轴是直线x=-1例3、已知二次函数y=a（x-2）2+c（a＞0），当自变量x分别取2、3、0时，对应的函数值分别：y1，y2，y3，，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y3＜y2＜y1B．y1＜y2＜y3C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2例4、对于二次函数y=x2-2mx-3，有下列说法：①它的图象与x轴有两个公共点；②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1；④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为-3．第3页共13页其中正确的说法是．（把你认为正确说法的序号都填上）考点三：图象平移（左加右减，上加下减）例5.在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x2-4x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（）[来源:学_科_网Z_X_X_K]A．（-2，3）B．（-1，4）C．（1，4）D．（4，3）例6.把抛物线y=x2沿直线y=x平移2个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线解析式是例7.若a+b+c=0,a0,把抛物线y=ax2+bx+c向下平移4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.考点四、二次函数y=ax2+bx+c的图象与字母系数之间的关系：例8.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0）．对于下列命题：①b-2a=0；②abc＜0；③a-2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个例9.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3例10.如图，是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0；②b＞2a；③ax2+bx+c=0的两根分别为﹣3和1；④a﹣2b+c＞0．其中正确的命题是．（只要求填写正确命题的序号）考点五：二次函数与一元二次方程的关系;会用待定系数法求二次函数的解析式例11.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是()A．k＜4B．k≤4C．k＜4且k≠3D．k≤4且k≠3例12.把二次函数y=（x-1）2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为．例13.根据下列条件，求二次函数的解析式。(1)、图象经过(0，0)，(1，-2)，(2，3)三点；(2)、图象的顶点(2，3)，且经过点(3，1)；第4页共13页(3)、图象经过(0，0)，(12，0)，且最高点的纵坐标是3。考点六：二次函数、一次函数、反比例函数的图像综合应用及图象交点的意义例14．直线y＝3x－1与y＝x－k的交点在第四象限，则k的范围是………………（）（A）k＜31（B）31＜k＜1（C）k＞1（D）k＞1或k＜1例15.已知函数y=－（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是（）A．BCD．例16.已知函数y1＝x2与函数y2＝－12x＋3的图象大致如图，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是（）．A．－32＜x＜2B．x＞2或x＜－32C．－2＜x＜32D.x＜－2或x＞32考点七：二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值；例17.在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：（1）试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；（3）若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．第5页共13页解：（1）y是x的一次函数，设y=kx+b，图象过点（10，300），（12，240），，∴y=﹣30x+600，当x=14时，y=180；当x=16时，y=120，即点（14，180），（16，120）均在函数y=﹣30x+600图象上．∴y与x之间的函数关系式为y=-30x+600；（2）w=（x﹣6）（﹣30x+600）=﹣30x2+780x﹣3600，即w与x之间的函数关系式为w=-30x2+780x-3600(x)；（3）由题意得：6（﹣30x+600）≤900，解得x≥15．w=﹣30x2+780x﹣3600图象对称轴为：x=﹣=13．∵a=﹣30＜0，∴抛物线开口向下，当x≥15时，w随x增大而减小，∴当x=15时，w最大=1350，即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元．第6页共13页考点八：二次函数与平面图形(等腰三角形、直角三角形、平行四边形)、相似等知识的综合应用例18.如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P．（1）求a，k的值；（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．．（2）设Q点的坐标为（2，m），对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E．在Rt△AQF中，AQ2=AF2+QF2=1+m2，在Rt△BQE中，BQ2=BE2+EQ2=4+（3﹣m）2，∵AQ=BQ，∴1+m2=4+（3﹣m）2，∴m=2，∴Q点的坐标为（2，2）；第7页共13页（3）当点N在对称轴上时，NC与AC不垂直，所以AC应为正方形的对角线．又∵对称轴x=2是AC的中垂线，∴M点与顶点P（2，﹣1）重合，N点为点P关于x轴的对称点，其坐标为（2，1）．此时，MF=NF=AF=CF=1，且AC⊥MN，∴四边形AMCN为正方形．在Rt△AFN中，AN==，即正方形的边长为．第8页共13页【测评】1.抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论有2.抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为．3.对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为4.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．5.如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？第9页共13页6.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，3）．（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；（2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB；（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）存在。过点B作BP⊥OA，则tan∠BOP=tan∠BAP=。∴∠BOA=30°。设Q1坐标为（x，），过点Q1作Q1F⊥x轴，第10页共13页∵△OAB∽△OQ1A，∴∠Q1OA=30°，∴OF=Q1F，即x=，解得：x=9或x=0（舍去）。∴Q1坐标为（9，3），根据函数的对称性可得Q2坐标为（﹣3，3）。∴Q点的坐标（9，3），（﹣3，3）。7.如图，已知抛物线y=ax2﹣23x+c与x轴相交于A、B两点，并与直线y=21x﹣2交于B、C两点，其中点C是直线y=21x﹣2与y轴的交点，连接AC．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△ABC为直角三角形；（3）△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG？（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．（3）解：△ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG，面积为，理由如下：①一点为C，AB、A