向量加减法运算及其几何意义

知识回顾1.向量、零向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？2.如何表示向量？在以前的学习中我们知道数能进行运算，那么，与数的运算类比。向量是否也能进行运算呢？今天我们将一起学习向量的线性运算的第一节。向量的线性运算指的哪些运算呢？向量的加法、减法、数乘运算以及他们之间的混合运算AB2.2.1向量加减法运算及其几何意义ABC一、创设情景（1）AB+BC=AC（2）（3）CABAB+BC=ACAB+BC=ACABC上述分析表明：两个向量可以相加，并且两个向量的和还是一个向量活动一：求两个向量和的运算，叫做向量的加法向量加法的三角形法则：,,,,abAABaBCbACabababABBCAC、内点，则与，记则这称为已知非零向量在平面任取一作向量叫做的和作即种求向量和向量加法的三角方法，形法的。ACababBbBC活动二：成语接龙志同道合合二为一一心一意鸿鹄之志向量加法的三角形法则的特点：加法连接指向向量加法的三角形法则首尾相连首指尾AAB+BC=AC尝试练习一：ACABCDE_____ABBC_____BCCD_____ABBCCDBDAD根据图示填空：_____ABBCCDDEAE思考1？向量的加法可以用三角形法则计算，那么还有别的法则可以计算向量的加法吗？OABCabba,OabOACBOOCaabbabOAOBOC点为点两个为邻边则为点对线与这平行四边则称为以同一起的已知向量、作,以起的角就是的和即向量加法的种求向量和的方法，形法。同起点的对角线起点相同向量加法的平行四边形法则：思考2？1.如何求与任一向量的和？a0规定：a+0=0+a=a2.向量加法的三角形法则与平行四边形法则有什么区别与联系？bbaba三角形法则:平行四边形法则:OBCBOACb例1.如图，已知向量，求作向量。,ababab则OBabOABaba三角形法则作法1：在平面内任取一点O，作，，OAaABbb例题讲解：例1.如图，已知向量，求作向量。,abababO例题讲解：作法2：在平面内任取一点O，作，，OAaOBbOAOB、以为邻边作OACB，.OCOAOBab连结OC，则abbaBCA平行四边形法则尝试练习二：已知向量，用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出ab、ab①②abba当向量不共线时，和向量的长度与向量的长度和之间的大小关系如何？ab、||abab、||||ababab三角形的两边之和大于第三边当向量不共线时，则＜由例1可知：思考3：如图，当在数轴上两个向量共线时，如何作出两个向量的和？他们的大小关系呢？abab（1）（2）ABCBCAabab综合以上探究我们可得结论：||||||abab若方向相同时，则若方向相反时，则|a|-|b|(或|b|-|a|)==思考2:数的加法满足交换律和结合律，即对任意，有,abR,abba()().abcabc那么对任意向量的加法是否也满足交换律和结合律？请画图进行探索。,abOABCabbaabbaabccbcbaACDabba()().abcabc例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹角来表示）。23ADBC,ADABADABABCDAC图，，，、为邻边则实际.解：（1）如所示表示船速表示水速以作表示船航行的速度例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹角来表示）。23(2)||2,||23RtABCABBC解：在中，2222||||||2(23)4ACABBC23tan32CAB60.CAB答：船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为60º。ADBC（1）你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？（2）两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？思考：如设,,xyRxy()xy实数的相反数记作。aa如何定义向量的减法运算呢？向量的减法运算及其几何意义回顾：一、相反向量：规定：设向量，我们把与长度相同，方向相反aa的向量叫做的相反向量。a（1）()a（3）设互为相反向量，那么,ab,,0abbaab2.2.2向量的减法运算及其几何意义记作：a的相反向量仍是。00二、向量的减法：()abab（2）()aa()aaa00BACab设,ABbACaDEb()AEab又bBCa所以BCabababab你能利用我们学过的向量的加法法则作出吗？()ab不借助向量的加法法则你能直接作出吗？ab三、几何意义：可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量baba（1）如果从的终点指向终点作向量，所得向量是什么呢？ab（2）当，共线时，怎样作呢？ababABOABOaOAbOBabBA注意：（1）起点必须相同。（2）指向被减向量的终点。ba一般地abBabbAO（三角形法则）a练习：(1)ABAD(3)BCBA(2)BABC(4)ODOA(5)OAOBDBCAACADBA已知向量，求作向量，。ab例3,,,abcdcdabcdOBACDabdc作法：在平面内任取一点O，,OAa,OBb,OCc,ODd则BAabDCcd作注意：起点相同，连接终点，指向被减向量的终点。abcd练习：ab已知向量，求作向量。ab,ab（1）（2）ab（3）（4）abbaabababab例4在ABCD中，,ABa,ADb你能用表示吗？,ACDBDBACabACabDBab,ab变式一本例中，当满足什么条件时，与互相垂直？,abababab变式二本例中，当满足什么条件时，,ab?ababab与互相垂直)+=+++=++abba(ab)ca(bc向量的减法一、定义（利用向量的加法定义）。二、几何意义（起点相同，由减向量的终点指向被减向量的终点）。