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重难点重点:理解等差数列的概念,探索并掌握等差数列的通项公式,并用公式解决一些简单的问题,体会等差数列与一次函数之间的联系难点:概括通项公式推到过程中体现的数学思想方法复习回顾数列的定义,通项公式,递推公式按一定次序排成的一列数叫做数列。一般写成a1,a2,a3,…,an,…,简记为{an}。如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。如果已知数列{an}的第1项(或前几项),且任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列的递推公式。请同学们思考,这四个数列有何共同特点?新课讲解(1)从第二项起,后一项与前一项的差是5。(2)从第二项起,后一项与前一项的差是5。新课讲解(3)从第二项起,后一项与前一项的差是-2.5。(4)从第二项起,后一项与前一项的差是72。新课讲解一、等差数列的定义一般地,如果一个数列{an},从第2项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差。公差通常用字母d表示。定义的符号表示是:an-an-1=d(n≥2,n∈N*),这就是数列的递推公式。数列{an}为等差数列an+1-an=d或an+1=an+d那么对于以上四个例子四组等差数列,它们的公差依次是5,5,-2.5,72。新课讲解是不是不是练习一判断下列各组数列中哪些是等差数列,哪些不是?如果是,写出首项a1和公差d,如果不是,说明理由。(1)1,3,5,7,…(2)9,6,3,0,-3…(3)-8,-6,-4,-2,0,…(4)3,3,3,3,…(6)15,12,10,8,6,…1111(5)1,,,,,2345是是是a1=1,d=2a1=9,d=-3a1=-8,d=2a1=3,d=0新课讲解思考:在数列(1),a100=?我们该如何求解呢?新课讲解二、通项公式的推导设一个等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则有:a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…所以有:a2=a1+d,a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2da4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d问理an=?通过观察:a2,a3,a4都可以用a1与d表示出来;a1与d的系数有什么特点?新课讲解a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…an-an-1=d(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=(n-1)d∴an-a1=(n-1)d即an=a1+(n-1)d新课讲解叠加法注意:当n=1时an=a1+(n-1)d也成立。所以等差数列的通项公式是:an=a1+(n-1)da1、an、n、d知三求一例1:(1)求等差数列3,7,11…的第4项与第10项;(2)判断102是不是等差数列2,9,16,…的项?如果是,是第几项,如果不是,说明理由。新课讲解例题解:(1)根据题意得:a1=3,d=7-3=4,∴这个数列的通项公式是:an=a1+(n-1)d=4n-1∴a4=4×4-1=15,a10=4×10-1=39.(2)由题意得:a1=2,d=9-2=7∴这个数列的通项公式是:an=2+(n-1)×7=7n-5(n≥1)令102=7n-5,得n=107/7N∴102不是这个数列的项。新课讲解例2第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行,此后每4年举行一次,奥运会如因故不能举行,届数照算。(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式(2)2008年北京奥运会是第几届?2250年举行奥运会吗?解:(1)由题意知,举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项,4为公差的等差数列。这个数列的通项公式为an=1896+4(n-1)=1892+4n(n∈N*)(2)假设an=2008,由2008=1892+4n,得n=29.假设an=2250,2250=1892+4n无正整数解.答:所求通项公式为an=1892+4n(n∈N*),2008年北京奥运会是第29届,2250年不举行奥运会例3在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.511214101131aadaad这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组,解之得:解:由题意得:∴这个数列的首项a1是-2,公差d=3.小结:已知数列中任意两项,可求出首项和公差,主要是联立二元一次方程组。请同学们做以下练习。123ad新课讲解练习已知等差数列{an}中,a4=10,a7=19,求a1和d.11310619adad∴这个数列的首项是1,公差是3。解:依题意得:113ad解得:新课讲解,,()mnnmaaaanmd事实上,对于等差数列中的任意两项,有关系式:你能给出证明吗?三.等差中项如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.由等差中项的定义可知,a,A,b满足关系:abbAAaAb2Aa(a2Ab)2或意义:任意两个数都有等差中项,并且这个等差中项是唯一的.当a=b时,A=a=b.新课讲解求出下列等差数列中的未知项(1):3,a,25;(2):3,b,c,-9;-111()2nnnaaa等差中项是等差数列特有性质,所以用等差中项递推关系给出的数列也是等差数列。例4、已知数列{na}的通项公式qpnan,其中p、q是常数,那么这个数列是否一定是等差数列?若是,首项与公差分别是什么?解:])1([)(1qnpqpnaannpqppnqpn)(为常数∴{na}是等差数列首项qpa1,公差为p。总结定义法判断或证明数列是等差数列的步骤:na新课讲解(1)作差,将差变形;(2)当的值是一个与n无关的常数时,数列是等差数列;当的值不是常数,是与n有关的代数式时,数列不是等差数列nanannaa1nnaa1nnaa1新课讲解2.定义(1)在直角坐标系中,画出通项公式为的数列的图象.这个图象有什么特点?35nan图象上的点是孤立的点,且这些点在一条直线上,(2)在同一直角坐标系中,画出的图象.你发现了什么?据此说一说等差数列与一次函数图象的图象有什么关系?35yxnapnqypxq四、等差数列的图象napnq的图象是一次函数ypxq图象上当横坐标取正整数时的那些孤立的点组成的图象,是特殊的一次函数.napnq新课讲解11(1)(2)(3)1nmnnnaaaadaaddnmn;;d的计算方法判断等差数列的方法:1)、(定义法)an-an-1是否是一个与n无关的常数2)、(中项公式法)判断an与an+1+an-1的关系知识小结及应用:3)、(一次函数法)判断an=pn+q(p、q为常数)性质:在等差数列中,为公差,nad*,,,Nqpnmmnpq若那么:qpnmaaaa推论:在等差数列中,与首末两项距离相等的两项和等于首末两项的和,即23121nnnaaaaaa五、等差数列的性质1a111(1)(1)2(2)mnaaamdandamndmnpqmnpqaaaadnaNqpnm,,,qpnmqpnmaaaa在等差数列中,为公差,若且求证:证明:设首项为,则111(1)(1)2(2)pqaaapdaqdapqd特例:若p=q呢?2,2mnpmnpaaa若则有2,+nmnpqamnpaaaa等差数列中,若等差中项例6:在等差数列{an}中,(1).a2+a3+a23+a24=48,求a13(2).a2+a3+a4+a5=34,a2·a5=52,求公差d例题分析3、已知a3+a11=10,求a6+a7+a8分析:a3+a11=a6+a8=2a7,又已知a3+a11=10,∴a6+a7+a8=(a3+a11)=15232、在等差数列{an}中a1-a5+a9-a13+a17=117,则a3+a15=()练习:1、等差数列{an}中,a2+a3+a10+a11=48,则a6+a7=()例7、1,13111aaaannn求数列na的通项公式.解:取倒数:11113131nnnnaaaa则1113nnaana1是等差数列,3)1(111naan3)1(1n231nan注意:有些数列若通过取倒数代数变形方法,可由复杂变为简单,使问题得以解决.选讲
本文标题:2.2等差数列
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