2.2线性方程与常数变易法

§2.2线性方程与常数变易法/LinearODEandvariationofconstantsMethod/本节要求/Requirements/熟练掌握线性方程和伯努利方程的求解方法。了解黎卡提方程的简单性质及其求解方法。内容提要/ConstantAbstract/:齐次线性方程特点解法举例线性方程常数变易法(积分因子方法）非齐次线性方程求解步骤举例随堂练习伯努利方程线性方程与常数变易法特点可化为线性方程的方程黎卡提方程解法其他可化为线性方程的方程重点与难点思考一、一阶线性微分方程/First-OrderLinearODE/0)()()(xcyxbdxdyxa………………(2.2.1)的方程称为一阶线性微分方程(即关于是线性的)yy,其中)(),(xQxP为x的已知函数。当0)(xQ时，称为齐次线性方程;当0)(xQ时，称为非齐次线性方程。形如一般形式)()(xQyxPyyxPy)(…………(2.2.2)§2.2LinearODEandvariationofconstantsMethod假设函数在区间axb上连续,则根据解的存在性及唯一性定理可知，在区域)(),(xQxPybxaD:方程(2.2.1)的初值问题的解是存在唯一的。)()(xQyxPy………………(2.2.1)§2.2LinearODEandvariationofconstantsMethod（1）齐次线性方程/HomogenousLinearODE/yxpy)(解法:分离变量，得:dxxpydy)(积分，得:1)(Cdxxpydy1)(lnCdxxpy..……………………..(2.2.2)dxxpCeey)(1dxxpCeey)(11Cec§2.2LinearODEandvariationofconstantsMethod得dxxpcey)(因为0y为(2.2.2)的解,所以其通解为:dxxpcey)(…………………….…(2.2.3)其中c为任意常数。满足初始条件00)(yxy的解是xxdttpeyy0)(0…………………..(2.2.3)’§2.2LinearODEandvariationofconstantsMethodxxpsin)(xxdxceceycossin由公式(2.2.3)’得，所求特解为:xeycos2由公式(2.2.3)得，所求通解为：解例10xyysin的通解,并求满足条件的特解2)2(y试求微分方程§2.2LinearODEandvariationofconstantsMethod（2）非齐次线性方程/Non-HomogenousLinearODE/采用常数变易法求解设想方程)()(xQyxPy有形如(2.2.3)的解，但其中的常数c变易为x的待定函数即设dxxPexcy)()(………………….(2.2.4)dxxPcey)(……………………………(2.2.3)方程的解。§2.2LinearODEandvariationofconstantsMethod上式代入方程(2.2.1)，得:dxxPexcy)()()()()()()()()()()(xQexcxPxPexcexcdxxPdxxPdxxP即:)()()(xQexcdxxP)()(xQyxPydxxPexQxc)()()(积分得:cdxexQxcdxxp)()()(§2.2LinearODEandvariationofconstantsMethodcdxexQxcdxxp)()()(代入(2.2.4)])([)()(cdxexQeydxxPdxxP………..(2.2.5)dxxPexcy)()(得:同时，方程满足初始条件00)(yx的特解为:])([000)(0)(xxdttPdttPdxexQyeyxxxx§2.2LinearODEandvariationofconstantsMethod其中第一项是线性齐次方程的通解，第二项是线性非齐次方程特解。非齐次线性方程通解的结构：通解等于其对应齐次方程通解与自身的一个特解之和。由(2.2.5)得:dxexQeceydxxPdxxPdxxP)()()()(§2.2LinearODEandvariationofconstantsMethod例2xxydxdyx2cossincos解1)先求对应的齐次方程通解xydxdyxsincosdxxxydycossincxylncoslnln)(ccos为任意常数xcy2)用常数变易法求方程通解设xxcycos)(是方程的解，代入原方程，得§2.2LinearODEandvariationofconstantsMethodxxcycos)(xxc2cos)(cxxxdxxc2sin4121cos)(2xxydxdyx2cossincosxxxxcxxxcxxcx22cossincos)()cossin)(cos)((cos)()2sin4121(cos1为任意常数ccxxxy说明：对于一阶线性方程，也可直接用通解公式计算得出。§2.2LinearODEandvariationofconstantsMethod例322yxydxdy解1)转换变量位置222dxxyxydyyy2)用公式求方程通解])([)()(cdxexQeydxxPdxxP][1212cdyyeexdyydxy)1(2cdyyyx)(22lnlncdyyeeyy22lncyyy22lncyyyx§2.2LinearODEandvariationofconstantsMethod有时方程关于dxdyy,x为y的函数，方程关于dydxx,于是仍可以根据上面的方法求解。注意:不是线性的，但如果视是线性的，§2.2LinearODEandvariationofconstantsMethod练习xxydxdyeyxxyx42)2()1(')1(3)3(yxydxdy§2.2LinearODEandvariationofconstantsMethodxeyxxy)1('解1)先解齐次方程0)1('yxxy01dxxxydy积分，得：1lnlncxxyxecyx2)设xexcyx)(,代入原方程，得:xxxexexcxxexcx)()1(]')([练习(1)§2.2LinearODEandvariationofconstantsMethod化简得:cedxexcxx2221)(所以，通解为:)21(2cexeyxxxcexeyxx2xxxxxexexcxxexexcxexcx)()1(])()([2xxeexc)(xexc2)(§2.2LinearODEandvariationofconstantsMethod练习(2)xxydxdy42解用公式求解,xxQxxp4)(,2)()4(22cdxexeyxdxxdx)4(22cdxxeexx)2(22ceexx22xcey即:§2.2LinearODEandvariationofconstantsMethod3yxydxdy解方程可以改写为:21yxydydx2)(,1)(yyQyyp练习(3)故通解为:)(121ceyexdyydyy)21(2cyy即:332121ycxycyyx或§2.2LinearODEandvariationofconstantsMethod二、可化为线性方程的方程1伯努利方程/BernoulliODE/2*黎卡提方程/RiccatiODE/§2.2LinearODEandvariationofconstantsMethod1伯努利方程/BernoulliODE/形如)6.2.2()()(nyxQyxPy的方程称为伯努利方程，其中1,0nn它通过变量代换可化为线性方程。解法：将方程(2.2.6)的各项同乘以ny得:)()(1xQyxPyynn令nyz1dxdyyndxdzn)1(则dxdyydxdznn11§2.2LinearODEandvariationofconstantsMethod)()(11xQzxPdxdzn用上式求解后，代入原变量,便得原方程的通解。)()1()()1(xQnzxPndxdznyz1(1)()(1)()1[(1)()]nPxdxnPxdxnyenQxedxc§2.2LinearODEandvariationofconstantsMethod例4xxyyxyln'2将方程改写为:xyxyyln1'12解xzxdxdzln1))ln((11cdxexezdxxdxx1yz)ln(cdxxxx])(ln21[2cxx故])(ln21[12xcxy§2.2LinearODEandvariationofconstantsMethod2黎卡提方程/RiccatiODE/形如)7.2.2()()()(2xRyxQyxPdxdy的方程称为黎卡提方程。特点:在一般情况下，此类方程的解不能用初等函数及其积分形示表示，如果先由观察法或其他方法知道它的一个特解时，才可以通过初等积分法，求出它的通解。§2.2LinearODEandvariationofconstantsMethod)7.2.2()()()(2xRyxQyxPdxdy解法若方程有一特解为)(~)(xyxy设)(~xyzy)(~xyzy则)()~)(()~)((2xRyzxQyzxP)(~xyz)()~)(()~~2)((22xRyzxQyzyzxP)(~)(~)())()(~2()(22xRyxQyxPzxQxPyzxP)(~xyz)(~xyz))()(~2()(2zxQxPyzxPz化为伯努利方程。§2.2LinearODEandvariationofconstantsMethod122xyy由观察看出xy~是方程的一个特解，于是令uxy，则得解xuuu221)(122xxuu12211xuuu1121)(xuu12xzzCdxeezxx22122dxeCexyxx故原方程的通解为例5§2.2LinearODEandvariationofconstantsMethod例6试求1222xyyxyx形如xa的特解,解此微分方程。解设,2xayxay，代入方程得:12aaa所以故xy1~是方程的一个特解。1a012a1)1()1()1(2222uxxuxxuxx令uxy1于是方程化为伯努利方程xuuxu22§2.2LinearODEandvariationofconstantsMethod2121xxuuu211)(xxuu2xxzz故原方程的通解为Cdxexezxx22222122222Cdxexeuxx12222211Cdxexexuxyxx§2.2LinearODEandvariationofconstantsMethod练习0)]ln1([)1(3dxxxyyxdyxxxe