必修5正余弦定理讲解及练习及答案

1解三角形(1)内角和定理：三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.(2)正弦定理：2sinsinsinabcRABC(R为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理的一些变式：sinsinsiniabcABC；sin,sin,sin22abiiABCRR2cR；2sin,2sin,2siniiiaRAbRBbRC；（iv）a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝asinA②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.如（1）(2012·广东高考)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝()A．43B．23C.3D.32(3)余弦定理：2222222cos,cos2bcaabcbcAAbc等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.如．（1）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2＋c2－b2＝3ac，则角B的值为________．（2）2012·北京高考)在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－14，则b＝________．(4)面积公式：111sin()222aSahabCrabc（其中r为三角形内切圆半径）.如（1）ABC中，若CBABA22222sinsincoscossin，判断ABC的形状。（2）△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意ABC这个特殊性：,sin()sin,sincos22ABCABCABC；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如（1）ABC中，A、B的对边分别是ab、，且A=6064,a,b，那么满足条件的ABCA、有一个解B、有两个解C、无解D、不能确定（2）在ABC中，A＞B是sinAsinB成立的_____条件(3)在ABC中，a,b,c分别是角A、B、C所对的边，若(abc)(sinAsinB3sinC)asinB，则C＝____（4）在ABC中，若其面积22243abcS，则C=____2（5）在ABC中，601A,b，这个三角形的面积为3，则ABC外接圆的直径是_______正余弦定理的应用问题1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图3－8－1①)．图3－8－12．方位角和方向角(1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图3－8－1②)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°等．3．坡度与坡比坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比．例题讲解1．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．akmB.3akmC.2akmD．2akm2．在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为________千米．3．一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°、距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为________海里/时．4．(2013·梅州模拟)如图3－8－3，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m．则这条河的宽度为________m.图3－8－33正弦定理一、基础过关1．在△ABC中，A＝60°，a＝3，b＝2，则B等于()A．45°或135°B．60°C．45°D．135°2．在△ABC中，若3a＝2bsinA，则B为()A.π3B.π6C.π3或23πD.π6或56π3．在△ABC中，若A＝30°，B＝60°，b＝3，则a等于()A．3B．1C．2D.124．下列判断中正确的是()A．当a＝4，b＝5，A＝30°时，三角形有一解B．当a＝5，b＝4，A＝60°时，三角形有两解C．当a＝3，b＝2，B＝120°时，三角形有一解D．当a＝322，b＝6，A＝60°时，三角形有一解5．在△ABC中，a＝2，A＝30°，C＝45°，则△ABC的面积S△ABC等于()A.3＋1B.3－1C.3＋2D.3－26．在△ABC中，c＝3，b＝1，B＝30°，则△ABC的面积为()．A.32或3B.32或34C.3或34D.37．在△ABC中，下列等式中总能成立的是()A．asinA＝bsinBB．bsinC＝csinAC．absinC＝bcsinBD．asinC＝csinA8．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，则△ABC为()A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形9．在△ABC中，若acosA＝bcosB＝ccosC，则△ABC是()A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形10．在△ABC中，若a＝5，b＝3，C＝120°，则sinA∶sinB的值是()．A.53B.35C.37D.5711．在△ABC中，若sinAsinB，则角A与角B的大小关系为()．A．ABB．ABC．A≥BD．A，B的大小关系不能确定12．在△ABC中，若sinAa＝cosBb＝cosCc，则△ABC中最长的边是()．A．aB．bC．cD．b或c13．若△ABC的面积为3，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度为_______．14．在△ABC中，已知a∶b∶c＝3∶4∶5，则2sinA－sinBsinC＝______.415．在△ABC中，若b＝5，B＝π4，sinA＝13，则a＝______.16．在△ABC中，若AC＝6，BC＝2，B＝60°，则C＝______.17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A＝π3，b＝1，三角形ABC的外接圆半径为1，则△ABC的面积S＝_______.18．下列条件判断三角形解的情况，正确的是_______．①a＝8，b＝16，A＝30°，有两解；②b＝18，c＝20，B＝60°，有一解；③a＝15，b＝2，A＝90°，无解；④a＝30，b＝25，A＝150°，有一解．19．在△ABC中，若A∶B∶C＝1∶2∶3，a＝1，则a－2b＋csinA－2sinB＋sinC＝_______.20.在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，则a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝______，c＝_____.21.在△ABC中，已知23asinB＝3b，且cosB＝cosC，试判断△ABC的形状．22.在△ABC中，若cosAcosB＝ba＝43，试判断三角形的形状．23．在△ABC中，已知a、b、c分别为内角A、B、C的对边，若b＝2a，B＝A＋60°，求A的值．24．已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a、b和B.25．在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a＝2，C＝π4，cosB2＝255，求△ABC的面积S.余弦定理一、基础过关1．在△ABC中，若b2＝a2＋c2＋ac，则B等于()A．60°B．45°或135°C．120°D．30°2．在△ABC中，已知a＝9，b＝23，C＝150°，则c等于()．A.39B．83C．102D．733．若三条线段的长分别为5,6,7，则用这三条线段()A．能组成直角三角形B．能组成锐角三角形C．能组成钝角三角形D．不能组成三角形4．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶3，则cosC的值为()A.13B．－23C.14D．－145．在△ABC中，已知b＝3，c＝33，A＝30°，则角C等于()A．30°B．120°C．60°D．150°6．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcosC，则此三角形一定是()5A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形7．在△ABC中，若a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为()．A.π3B.π6C.π4D.π128.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2－a2－b22ab0，则△ABC()．A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．是锐角或直角三角形9．已知a、b、c为△ABC的三边长，若满足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则∠C的大小为()A．60°B．90°C．120°D．150°10．在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为()A．30°B．60°C．90°D．120°11．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cosB等于()A.14B.34C.24D.2312．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a＋b)2－c2＝4，且∠C＝60°，则ab的值为()A.43B．8－43C．1D.2313．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则三角形一定是()．A．直角三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形14．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝32，则边BC的长为()．A.3B．3C.7D．715．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为3，则asinA等于()．A.2393B.2293C.2633D．3317．已知△ABC的内角B＝60°，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．18．在△ABC中，已知a＝2，b＝4，C＝60°，则A＝________.19．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.20.在△ABC中，若(a－c)(a＋c)＝b(b＋c)，则A＝________.21.在△ABC中，已知a＝5，b＝7，B＝120°，则△ABC的面积为________．22．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝14，a＝4，b＋c＝6，且bc，求b，c的值．23．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.(1)求角C的度数；(2)求AB的长；(3)求△ABC的面积．24．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，asinA＋csinC－2asinC＝bsinB.(1)求B；(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.625．在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求三边长．解由a－b＝4a＋c＝2b，得a＝b＋4c＝b－4.∴abc，∴A＝120°，∴a2＝b2＋c2－2bccos120°，即(b＋4)2＝b2＋(b－4)2－2b(b－4)×－12，即b2－10b＝0，解得b＝0(舍去)或b＝10.当b＝10时，a＝14，c＝6.26．已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，且a2＋c2－b2＝ac.(1)求角B的大小；(2)若c＝3a，求tanA的值．解(1)由余弦定理，得cosB＝a2＋c2－b22ac＝12.∵0Bπ，∴B＝π3.(2)法一将c＝3a代入a2＋c2－b2＝ac，得b＝7a.由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝5714.∵0Aπ，∴sinA＝1－cos2A＝2114.∴tanA＝sinAcosA＝35.法二将c＝3a代入a2＋c2－b2＝ac，得b＝7a.由正弦定理，得sinB＝7sinA.∵B＝π3，∴sinA＝2114.又∵b