2013年高考数学(理科)一轮复习课件第38讲：等差数列

考纲要求考纲研读1.理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；并能运用有关知识解决相应问题.3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等差数列与一次函数的关系.1.理解等差数列的概念，会用定义证明一个数列是等差数列．2．能利用等差中项、通项公式与前n项和公式列方程求值．3．善于识别数列中等差关系或转化为等差关系；能利用通项公式或前n项和公式求最值.1．等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d，这个数列叫做等差数列，常数d称为等差数列的公差．2．通项公式与前n项和公式a1为首项，d为公差，(1)通项公式an＝____________；(2)前n项和公式Sn＝__________或___________________.a1＋(n－1)dna1＋an2Sn＝na1＋12n(n－1)d3．等差中项如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A是a与b的等差中项⇔2A＝_____⇔a，A，b成等差数列．4．等差数列的常用性质(1)数列{an}是等差数列，则数列{an＋p}、{pan}(p是常数)都是等差数列．(2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq；特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap.(3)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则Snn是等差数列．a＋b(5)等差数列的单调性：若公差d0，则数列单调递增；若公差d0，则数列单调递减；若公差d＝0，则数列为常数列．(4)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k是等差数列．1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于()CA．13B．35C．49D．63B2．已知{an}为等差数列，a1＋a3＝8，S4＝10，则a6等于()A．4B．－8C．12D．163．在等差数列{an}中，若S11＝220，则a6＝_____.20104．已知数列{an}为等差数列，且a1＋a7＋a13＝，则tan(a2＋a12)＝_____.5．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝1，a4＝7，Sn＝100，则n＝_____.π433考点1等差数列的基本量运算例1：等差数列{an}的前n项和记为Sn，已知a10＝20，S10＝155.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若Sn＝410，求n.解析：(1)由S10＝a1＋a102×10＝a1＋202×10＝155，得：a1＝11.∵a10＝a1＋9d⇒20＝11＋9d⇒d＝1，∴an＝a1＋(n－1)d＝10＋n.(2)Sn＝na1＋nn－12d＝11n＋nn－12＝410⇒n2＋21n－820＝0，解得：n＝20或n＝－41(舍去)．在解决等差数列问题时，已知a1，an，d，n，Sn中任意三个，可求其余两个，称为“知三求二”．而求得a1和d是解决等差数列{an}所有运算的基本思想和方法．【互动探究】101．(2011年广东)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝_____.解析一：S9＝S4，即a1＋a992＝a1＋a442.∴9a5＝2(a1＋a4)．即9(1＋4d)＝2(2＋3d)．∴d＝－16.由1－16(k－1)＋1＋3·－16＝0得：k＝10.解析二：S9＝S4，∴a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0.∴a7＝0.从而a4＋a10＝2a7＝0，∴k＝10.2．(2011年湖北)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为()A．1升B.6766升C.4744升D.3733升B解析：设该数列{an}的首项为a1，公差为d，依题意a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4⇒4a1＋6d＝3，3a1＋21d＝4⇒a1＋7d＝43，d＝766，则a5＝a1＋4d＝a1＋7d－3d＝43－2166＝6766，故选B.考点2求等差数列的前n项和例2：已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S10＝100，S100＝10，求S110.解题思路：利用方程的思想将Sn表示成关于a1，d的方程，或利用等差数列的性质．解法一：设等差数列的公差为d，则10a1＋45d＝100，100a1＋4950d＝10⇒d＝－1150，a1＝1099100.∴S110＝110a1＋12×110×109d＝－110.解法二：∵{an}为等差数列，∴可设Sn＝An2＋Bn.则100A＋10B＝100，1002A＋100B＝10⇒A＝－11100，B＝11110.∴S110＝1102A＋110B＝－110.解法三：∵S100－S10＝90a11＋a1002＝－90⇒a11＋a100＝－2，∴S110＝110a1＋a1102＝110a11＋a1002＝－110.解法四：∵{an}为等差数列，∴Snn为等差数列．∴10，S1010，100，S100100，110，S110110三点共线．∴S100100－S1010100－10＝S110110－S100100110－100⇒110－1090＝S110110－11010⇒S110＝－110.【互动探究】3．(2011年江西)设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和．若S10＝S11，则a1＝()BA．18B．20C．22D．244．(2011年湖南)设Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和，且a1＝1，a4＝7，则S5＝_____.25解析：∵S10＝S11，∴a11＝0.∵a11＝a1＋10d，d＝－2，∴a1＝20.解析：由a1＝1，a4＝7可得a1＝1，d＝2，an＝2n－1，所以S5＝1＋9×52＝25.考点3等差数列性质的应用例3：(1)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a6＝100，则S11＝________；(2)若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，则这个数列的项数n＝________.解题思路：(1)利用等差数列的有关性质求解．(2)利用等差数列的前4项和及后4项和求出a1＋an，代入Sn可求项数n.解析：(1)S11＝11a1＋a112＝11×2a62＝11a6＝1100.(2)∵a1＋a2＋a3＋a4＝36，an＋an－1＋an－2＋an－3＝124，a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3，∴4(a1＋an)＝160⇒a1＋an＝40.∴Sn＝na1＋an2＝780⇒20n＝780⇒n＝39.答案：(1)1100(2)39利用等差数列{an}的性质“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq”可以把an与Sn结合起来，给计算带来很大便利，是解决等差数列的有效方法．【互动探究】745．(2011年重庆)在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝_____.解析：a2＋a4＋a6＋a8＝2(a2＋a8)＝2(a3＋a7)＝74.思想与方法13．利用函数的思想求等差数列前n项和的最值例题：设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0.(1)求公差d的取值范围；(2)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．解析：(1)依题意有S12＝12a1＋12×112d0，S13＝13a1＋13×122d0⇒2a1＋11d0，a1＋6d0.由a3＝12，得a1＝12－2d.又24＋7d0，3＋d0⇒－247d－3.(2)方法一：由d＜0，可知a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13.因此，若在1≤n≤12中，存在自然数n，使得an＞0，an＋1＜0，则Sn就是S1，S2，…，S12中的最大值．由于S12＝6(a6＋a7)＞0，S13＝13a7＜0，即a6＋a7＞0，a7＜0，由此得a6＞－a7＞0.故在S1，S2，…，S12中S6的值最大．方法二：Sn＝na1＋nn－12d＝n(12－2d)＋12n(n－1)d＝d2n－125－24d2－d2125－24d2.∵d＜0，∴n－125－24d2最小时，Sn最大．当－247＜d＜－3时，6＜125－24d＜6.5，∴n＝6时，n－125－24d2最小．∴S6最大．方法三：由d＜0，可知a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13.因此，若在1≤n≤12中，存在自然数n，使得an＞0，an＋1＜0，则Sn就是S1，S2，…，S12中的最大值．由已知，得S120，S130⇒12a1＋12×112d0，13a1＋13×122d0⇒a1＋5d－d20，a1＋6d0⇒a60，a70.故在S1，S2，…，S12中S6的值最大．解决等差数列的前n项和的最值问题的常用方法：①通项公式法：在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则当n为正整数且满足an≥0，an＋1≤0时，Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则当n为正整数且满足an≤0，an＋1≥0时，Sn存在最小值．②前n项和公式法(利用二次函数性质)：Sn＝a1n＋nn－12d＝d2n2＋(a1－d2)n＝d2[n＋a1－d2d]2－a1－d222d＝d2[n－(12－a1d)]2－d2(12－a1d)2.由二次函数的最大、最小值知识及n∈N*，知：当n取最接近12－a1d的自然数时，Sn取到最大值(或最小值)，值得注意的是最接近12－a1d的自然数有时1个，有时2个．1．等差数列的判定方法(1)定义法：an＋1－an＝d(n∈N*，d是常数)⇔{an}是等差数列．(2)中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．(3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数)⇔{an}是等差数列．(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B是常数，A≠0)⇔{an}是等差数列．2．解决与等差数列有关问题时常见的思想方法(1)函数思想：在等差数列中an＝dn＋c(d，c为常数)是关于n的一次函数(或常数函数)，Sn＝an2＋bn(a，b为常数)是关于n的二次函数(或一次函数)．(2)方程思想：准确分析a1，d，an，Sn，n之间的关系，通过列方程(组)可做到“知三求二”．(3)整体思想：在应用等差数列{an}的性质“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq”时，要会用整体思想进行代换．等差数列的前n项和公式可写成二次式Sn＝an2＋bn(a，b为常数)，要注意常数项为0这一特点；等差数列的基本运算和性质应用并不是相互独立的，在实际问题中要注意做到综合考虑，使其相辅相成．