定积分的换元积分法与分部积分法.ppt

高等数学（经）第5章定积分及其应用第5章定积分及其应用5.2微积分基本公式5.4广义积分5.5定积分的应用5.1定积分的概念与性质5.3定积分的换元积分法与分部积分法高等数学（经）主要内容5.3.1定积分的换元积分法5.3.2定积分的分部积分法定理5·45.3.1定积分的换元积分法设函数在上连续，令，且满足(1)(2)当从变化到时，单调地从变化到；(3)在上连续．则上式称为定积分的换元公式．[,]()tba()tt(),();ab()xx[,]ab()fx()()()bafxdxfttdt高等数学（经）解：5.3.1定积分的换元积分法令,则,,且当时，，．所以当时，42ln232311112(1)2[ln(1)]12tdttttt29331111122111xttdxtdtdtttx3t9x1t1x2dxtdt2xtxt例10计算91.1xdxx高等数学（经）解：5.3.1定积分的换元积分法。所以令,则,且当时，当时，22002(1cos2)(2sin2)tdttt222222000444sin2cos4cosxdxttdttdt2t2x0t0x2cosdxtdt2sinxt*例11计算2204.xdx高等数学（经）5.3.1定积分的换元积分法例12设在上连续，试证明：()fx[,]aa(2)若在上为奇函数，则()0aafxdx()fx[,]aa上为偶函数，则(1)若在0()2()aaafxdxfxdx()fx[,]aa高等数学（经）证明:5.3.1定积分的换元积分法0000()()()()aaaafxdxftdtftdtfxdx当。于是当时，时，；0t0xtaxa令,则,在中dxdtxt0()afxdx因为00()()()aaaafxdxfxdxfxdx高等数学（经）证明:5.3.1定积分的换元积分法(1)若为偶函数，则。于是所以0()2()aaafxdxfxdx000()()()aaafxdxfxdxfxdx()()fxfx()fx(2)若为奇函数，则。于是所以()()fxfx()fx()0aafxdx000()()()aaafxdxfxdxfxdx高等数学（经）例12的几何解释：(2)奇函数的图像关于原点对称(1)偶函数的图像关于y轴对称()yfx0yxaaAA()yfx0yxaaAA5.3.1定积分的换元积分法0AA00()()()aaaafxdxfxdxfxdx022()aAAAfxdx00()()()aaaafxdxfxdxfxdx高等数学（经）解:利用这个结果，奇、偶函数在对称区间上的积分计算可以得到简化，甚至不经计算即可得到结果.5.3.1定积分的换元积分法(1)因为被积函数是奇函数,关于原点对称．所以且积分区间211sin01cosxxdxx[1,1]2sin()1cosxxfxx例13计算定积分．211sin1cosxxdxx解:5.3.1定积分的换元积分法111012sin2sin1xxeee1112101(sincos)2cosxxxxxedxxdxedx且积分区间关于是非偶非偶函数，原点对称．所以[1,1]xe被积函数是偶函数，是奇函数，cosx2sinxx例14计算定积分．121(sincos)xxxxedx高等数学（经）定理5·55.3.2定积分的分部积分法设函数与在上有连续的导数，则或简写成上述公式称为定积分的分部积分公式.[,]ab()vx()uxbbbaaaudvuvvdu()()()()()()bbbaaauxvxdxuxvxvxuxdx高等数学（经）解:解:5.3.2定积分的分部积分法000sinsincos2xxxdxx00cossinxxdxxdx例16计算0cosxxdx11111000001xxxxxxedxxdexeedxee例15计算10xxedx高等数学（经）解:5.3.2定积分的分部积分法32ln2422211112ln22ln224xdxx22221111lnln22xxxdx222111lnln2xxdxxdx例17计算21lnxxdx高等数学（经）课堂练习：4．求定积分.20sin2xxdx3．求定积分.121(tan1)xxxedx2．求定积分．1011xdxx1．求定积分．160(21)xdx（答案：）27（答案：）13（答案：）12ee（答案：）4高等数学（经）1．定积分的换元积分法．2．对称区间上定积分的计算方法．3．定积分的分部积分法．小结高等数学（经）作业习题58910高等数学（经）