第二章-空间向量与立体几何-高中数学选修2-1教学案

第一中学高效课堂“导·教·学”三合一案高一年级科目数学备案设计人审批人（备课组长）授课时间课型：课题：§1从平面向量到空间向量第_1_课时个人修案探究点一空间向量的概念思考1如图，观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的三个向量OA→，OB→，OC→，它们和以前所学的向量有什么不同？答OA→，OB→，OC→是不同在一个平面内的向量，而我们以前所学的向量都在同一平面内．小结在空间，具有大小和方向的量叫空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模．思考2向量可以用有向线段表示，是否可以说向量就是有向线段？答不可以．向量是借助于有向线段表示的；向量只要具备大小与方向即可，而有向线段的三要素是：起点、方向、大小．有向线段只是空间向量的一种几何直观表示法．思考3“空间中任何两个向量都是共面向量”，这个结论是否正确？答正确．根据向量相等的定义，可以把向量进行平移，空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为共面向量．思考4在空间中，将所有的单位向量的起点移到同一点A，那么它们的终点构成怎样的图形？答球面．思考5零向量没有方向吗？答零向量不是没有方向，它的方向是任意的．例1给出下列命题：①若空间向量a，b，满足|a|＝|b|，则a＝b；②在正方体ABCD—A1B1C1D1中，必有AC→＝A1C1→；③若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；④空间中任意两个单位向量必相等．其中不正确的命题的个数是()A．1B．2C．3D．4答案B解析根据向量相等的定义，不仅模相等，而且方向相同，故①错；根据正方体ABCD—A1B1C1D1中，向量AC→与A1C1→的方向相同，模也相等，应有AC→＝A1C1→，故②正确；命题③显然正确；空间中任意两个单位向量模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故④错．反思与感悟在空间，单位向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．三维目标知识与技能理解空间向量的概念，掌握空间向量的两种表示方法，掌握空间向量的夹角，直线的方向向量和平面的法向量的概念.过程与方法通过复习平面向量的相关内容掌握空间向量的基本知识，通过类比的方法体会从二维空间到三维空间的变化，培养学生知识迁移的能力.情感、态度价值观学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断发展变化的，会用联系的观点看待事物.重点理解两个向量的夹角、直线的方向向量和平面的法向量难点平面法向量的探求○一学习引导1．空间向量的概念(1)在空间中，既有大小又有方向的量，叫作空间向量．(2)向量用小写字母表示，如：a→，b→或a，b.也可用大写字母表示，如图：AB→，其中A叫做向量的起点，B叫做向量的终点．(3)与平面向量一样，空间向量的大小也叫作向量的长度或模，用|AB→|或|a|表示．(4)向量夹角的定义：如图所示，两非零向量a，b，在空间中任取点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫作向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．(5)向量夹角的范围：规定0≤〈a，b〉≤π.(6)特殊角：当〈a，b〉＝π2时，向量a与b垂直，记作a⊥b；当〈a，b〉＝0或π时，向量a与b平行，记作a∥b.2．方向向量与法向量(1)所谓直线的方向向量是指和这条直线平行或重合的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)如果直线l垂直于平面α，那么把直线l的方向向量，叫作平面α的法向量．平面α有无数个法向量，平面α的所有法向量都平行．○二思考引导预·学演·学跟踪训练1判断下列命题的真假，并简单说明理由．(1)空间向量就是空间中的一条有向线段；(2)不相等的两个空间向量的模必不相等；(3)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；(4)向量BA→与向量AB→的长度相等．解(1)假命题，有向线段只是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来．(2)假命题，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可．(3)假命题，当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等却不一定有相同的起点和终点．(4)真命题，BA→与AB→仅是方向相反，它们的长度是相等的．探究点二向量、直线、平面思考1怎样描述空间直线的方向？答在直线l上任取两点A、B，则称AB→为直线l的方向向量．给定空间中任一点A和非零向量a，可以确定一条直线．思考2如何用向量来确定一个平面？答作直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a叫做平面α的法向量，过定点A，以a为法向量的平面是完全确定的．例2如图，已知空间四边形ABCD的各条边和对角线长都等于a，E、F、G分别是AB、CD、AD的中点．(1)给出直线EG、FG的一个方向向量；(2)给出平面CDE的一个法向量．解(1)∵E、F、G分别是AB、CD、AD的中点，∴EG∥BD，FG∥AC.∴BD→是EG的一个方向向量，AC→是FG的一个方向向量．(2)正△ABC中，E是AB中点，∴AB⊥EC.同理，AB⊥ED.∴AB⊥平面ECD.∴AB→是平面CDE的一个法向量．反思与感悟直线的方向向量和平面的法向量可以用来判定线面关系．○三小结引导1．空间向量是平面向量的推广，可从平面向量的概念类比空间向量．2．可以利用直线的方向向量描述直线的方向；平面的法向量和空间一点可以确定一个平面．3．利用直线的方向向量和平面的法向量可以判定线面关系．○四拓展引导如图，(1)正方体ABCD—A1B1C1D1中，〈A1C1→，BC1→〉＝________.(2)写出平面ABC1D1的一个法向量________．答案(1)60°(2)B1C→(或A1D→)解析在正方体ABCD—A1B1C1D1中，∵B1C⊥BC1，B1C⊥AB，∴B1C⊥平面ABC1D1.∴B1C→是平面ABC1D1的法向量．布置作业：1、书面作业：课本P27A组第3,4题和B组第2题2、检查作业：《全品作业手册》炼·学思·学西安市第一中学高效课堂“导·教·学”三合一案高一年级科目数学备案设计人曾卫鹏审批人（备课组长）授课时间课型：课题：空间向量的运算（1）第_1_课时个人修案思考2使用三角形法则和平行四边形法则有哪些要求？答(1)利用三角形法则进行加法运算时，注意“首尾相连”，和向量的方向是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．进行减法运算时，注意“共起点”，差向量的方向是从减向量的终点指向被减向量的终点．(2)平行四边形法则一般用来进行向量的加法运算．注意：平行四边形的两条对角线所表示的向量恰为两邻边表示向量的和与差．(3)三角形法则也可推广为多边形法则：即在空间中，把有限个向量顺次首尾相连，则从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量即表示这有限个向量的和向量．例1如图，已知长方体ABCD—A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AA′→－CB→；(2)AA′→＋AB→＋B′C′→.解(1)AA′→－CB→＝AA′→－DA→＝AA′→＋AD→＝AA′→＋A′D′→＝AD′→.(2)AA′→＋AB→＋B′C′→＝(AA′→＋AB→)＋B′C′→＝AB′→＋B′C′→＝AC′→.向量AD′→、AC′→如图所示．反思与感悟根据向量相等的概念，向量运算时可以根据需要进行平移向量；化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简，在化简过程中遇到减法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可按减法法则进行运算，加减法之间可相互转化，另外化简的结果要在图中标注好．探究点二空间向量的数乘运算思考1思考实数λ和空间向量a的乘积λa的意义？答λ0时，λa和a方向相同；λ0时，λa和a方向相反；λa的长度是a的长度的|λ|倍．思考2空间向量的数乘运算满足哪些运算律？三维目标知识与技能1.会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律.2.能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．过程与方法通过对空间向量运算的学习，初步把握空间向量的运算意义及运算律解决简单问题的方法.情感、态度价值观培养知识迁移的能力，渗透数形结合的思想重点空间向量的加减与书城运算及运算律难点空间向量共线的充要条件○一学习引导1．空间向量的加法设a和b是空间两个向量，如图，过点O作OA→＝a，OB→＝b，则平行四边形的对角线OC对应的向量OC→就是a与b的和，记作a＋b.2．空间向量的减法a与b的差定义为a＋(－b)，记作a－b，其中－b是b的相反向量．3．空间向量的数乘空间向量a与实数λ的乘积是一个向量，记作λa.(1)|λa|＝|λ||a|.(2)当λ0时，λa与a方向相同；当λ0时，λa与a方向相反；当λ＝0时，λa＝0.4．空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.○二思考引导探究点一空间向量的加减运算思考1怎样计算空间两个向量的和与差？答因为任意两个向量都是共面向量，所以空间两个向量的加减法和平面向量的加减法完全一样．运算中要掌握好三角形法则和平行四边形法则的应用．预·学演·学答空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb，结合律：λ(μa)＝(λμ)a.思考3向量的平行(共线)具有传递性吗？答不一定具有传递性，即若a∥b，a∥c，不一定有b∥c，但当a为非零向量时，平行(共线)的传递性成立，即若a≠0，a∥b，a∥c，则b∥c.例2如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB→＝a，AD→＝b，AA′→＝c，M是A′C′的中点，N是AB的中点．用a，b，c表示：(1)A′M→；(2)AN→；(3)MN→解(1)因为M是A′C′的中点，所以根据定理有A′M→＝12A′C′→＝12(A′B′→＋A′D′→)．因为A′B′→＝AB→＝a，A′D′→＝AD→＝b，所以A′M→＝12(a＋b)；(2)因为N是AB的中点，所以根据定理有AN→＝12AB→＝12a；(3)因为MN→＝MA′→＋A′A→＋AN→，而MA′→＝－A′M→＝－12(a＋b)，A′A→＝－AA′→＝－c，所以MN→＝－12(a＋b)－c＋12a＝－12b－c反思与感悟应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量运算的前提，表示向量时要注意选定向量，明确转化的目标．探究点三向量共线问题思考1(1)两向量共线时，它们的方向有什么关系？(2)在两向量共线的充要条件中，为什么要求b≠0?答(1)两向量共线，则它们的方向相同或相反．(2)由于我们已经规定了0与任意向量平行，所以当b＝0时，a与b是共线向量，可如果a≠0，就不可能存在实数λ，使a＝λb成立．思考2向量共线在几何中有什么应用？答利用向量共线可以证明几何中的两直线平行和三点共线问题．证明两直线平行要先证明两直线上的向量a，b平行，还要证明直线上有一点不在另一条直线上；证明三点A、B、C共线，只需证明存在实数λ，使AB→＝λBC→或AB→＝λAC→即可．例3如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A1E→＝2ED1→，F在对角线A1C上，且A1F→＝23FC→.求证：E，F，B三点共线．证明设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c.∵A1E→＝2ED1→，A1F→＝23FC→，∴A1E→＝23A1D1→，A1F→＝25A1C→.∴A1E→＝23AD→＝23b，A1F→＝25(AC→－AA1→)＝25(AB→＋AD→－AA1→)＝25a＋25b－25c.∴EF→＝A1F→－A1E→＝25a－415b－25c＝25a－23b－c.又EB→＝EA1→＋A1A→＋AB→＝－23b－c＋a＝a－23b－c，∴EF→＝25EB→.又EF→与EB→有公共点E，所以E，F，B三点共线．反思与感悟判定向量a，b共线，只需利用已知条件找到x，使a＝xb即可．证明点共线，只需证明对应的向量共线．○三小结引导1．向量可以平移，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行．2．空间向量的数乘运算和平面向量也完全相同；利用数乘运算可判定两个向量共线．○四拓展引导设两