中位线及其应用

第五讲：中位线及其应用【知识梳理】1、三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。2、中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。3、运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。4、中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰5、有关线段中点的其他定理还有：①直角三角形斜边中线等于斜边的一半②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合③对角线互相平分的四边形是平行四边形④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等因此如何发挥中点作用必须全面考虑。【例题精讲】【例1】已知△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，AE⊥CD于E，F是BC的中点，试说明BD=2EF。【巩固】已知在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点.求证：12DMABACBDEFMDCBA【例2】已知E、F、G、H是四边形ABCD各边的中点则①四边形EFGH是__________形②当AC＝BD时，四边形EFGH是__________形③当AC⊥BD时，四边形EFGH是__________形④当AC和BD__________时，四边形EFGH是正方形。【巩固】如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点。（1）求证：四边形MENF是菱形；（2）若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系，并证明你的结论。【例3】梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分别是AC、BD的中点。求证：MN＝21（AB－CD）FENMDCBAABDCMN【巩固】如图，在四边形ABCD中，AB＞CD，E、F分别是对角线BD、AC的中点。求证：EF＞)(21CDAB【拓展】E、F为四边形ABCD的一组对边AD、BC的中点，若EF＝)(21CDAB，问：四边形ABCD为什么四边形？请说明理由。【例4】四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AB=CD.BA、CD的延长线交HG的延长线于E、F。求证：∠BEH=∠CFH.解答第2题图FEDCBAABCDEF【例5】如图，△ABC的三边长分别为AB＝14，BC＝16，AC＝26，P为∠A的平分线AD上一点，且BP⊥AD，M为BC的中点，求PM的长。【巩固】已知：△ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM和CAN，P是BC的中点。求证：PM＝PNABCPMDABCPMN