2013年江西省高考理科数学试题及参考答案(完整word版)

准考证号姓名（在此卷上答题无效）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。满分150分，考试时间120分钟。考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与本人的准考证号、姓名是否一致。2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他的答案标号。第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答，答案无效。3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。第Ⅰ卷选择题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。1.已知集合=1,2,Mzi，i为虚数单位，3,4N，4MN，则复数zA.2iB.2iC.4iD.4i2.函数ln1yxx的定义域为A.0,1B.0,1C.0,1D.0,13.等比数列,33,66,xxx…的第四项等于A.24B.0C.12D.244.总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08B.07C.02D.015.5232xx展开式中的常数项为A.80B.80C.40D.406.若2211Sxdx，2211Sdxx，231xSedx，则123,,SSS的大小关系为A.123SSSB.213SSSC.231SSSD.321SSS7.阅读如下程序框图，如果输出5i，那么在空白矩形框中应填入的语句为A.2*2SiB.2*1SiC.2*SiD.2*4Si8.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线,CEEF相交的平面个数分别记为,mn，那么mnA.8B.9C.10D.119.过点20（，）引直线l与曲线21yx相交于,AB两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于A.33B.33C.33D.310.如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线12,ll之间，1l∥2l，l与半圆相交于,FG两点，与三角形ABC两边相交于,ED两点。设弧长FG的长为(0)xx，yEBBCCD,若l从1l平行移动到2l，则函数()yfx的图像大致是第Ⅱ卷非选择题注意事项：第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答，答案无效。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。i是奇数结果否输出iS10i=i+1i=1,S=0开始开始开始是否是ADBCEFOGFCBA1llDE2l11.函数2sin223sinyxx的最小正周期T为.12.设1e，2e为单位向量且1e、2e的夹角为3，若123aee，12be，则向量a在b方向上的射影为.13.设函数()fx在0,内可导，且()xxfexe，则'(1)f.14.抛物线22(0)xpyp的焦点为F，其准线与双曲线22133xy相交于,AB两点，若ABF为等边三角形，则p.三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做按其中一题评阅计分。本题共5分。15.（1）．（坐标系与参数方程选做题）设曲线C的参数方程为：2,xtyt(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴简历极坐标系，则曲线C的极坐标方程为_______.（2）．（不等式选做题）在实数范围内，不等式21x的解集为___________.四、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．（本小题满分12分）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知cos(cos3sin)cos0CAAB.1）求角B的大小；2）若1ac，求b的取值范围。17．（本小题满分12分）正项数列na的前n项和nS满足：222(1)()0nnSnnSnn。1）求数列na的通项公式na；2）令221(2)nnnbna，数列nb的前n项和为nT。证明：对于任意*nN，都有564nT。18.（本小题满分12分）小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以O为起点，再从12345678,,,,,,,AAAAAAAA（如图）这8个点中任取两点分别分终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为。若0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队。1)求小波参加学校合唱团的概率；2)求X的分布列和数学期望。19.（本小题满分12分）如图，四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，E为AB的中点，G为PD的中点，DABDCB，1EAEBAB，32PA，连接CE并延长交AD于F.1)求证：AD⊥平面CFG；2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值20．（本小题满分13分）如图，椭圆2222:1(0)xyCabab经过点3(1,)2P，离心率12e，直线l的方程为4x.1)求椭圆C的方程；2)AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为123,,kkk。问：是否存在常数，使得123kkk？若存在，求的值；若不存在，说明理由.21.（本小题满分14分）已知函数1()(12)2fxax，a为常数且0a.1）证明：函数()fx的图像关于直线12x对称；2）若0x满足00(())ffxx，但00()fxx，则0x称为函数()fx的二阶周期点，如果()fx有两个二阶周期点12,xx，试确定a的取值范围；3）对于（2）中的12,xx，和a，设3x为函数(())ffx的最大值点，11(,(()))Axffx，22(,(()))Bxffx，3(,0)Cx，记ABC的面积为()Sa，讨论()Sa的单调性。绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。1.C2.D3.A4.D5.C6.B7.C8.A9.B10.D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。11.12.5213.214.6三、选做题：本大题5分。15.（1）2cossin0（2）0,4四、解答题：本大题共6小题，共75分。16.（本小题满分12分）解：（1）由已知得cos()coscos3sincos0ABABAB即有sinsin3sincos0ABAB因为sin0A，所以sin3cos0BB，又cos0B，所以tan3B，又0B，所以3B。（2）由余弦定理，有2222cosbacacB。因为11,cos2acB，有22113()24ba。又01a，于是有2114b，即有112b。17.（本小题满分12分）（1）解：由222(1)()0nnSnnSnn，得2()(1)0nnSnnS。由于na是正项数列，所以20,nnSSnn。于是112,2aSn时，221(1)(1)2nnnaSSnnnnn。综上，数列na的通项2nan。（2）证明：由于2212,(2)nnnnanbna。则222211114(2)16(2)nnbnnnn。222222222111111111111632435(1)(1)(2)nTnnnn…222211111151(1)162(1)(2)16264nn。18.（本小题满分12分）解：（1）从8个点中任意取两点为向量终点的不同取法共有2828C种，0时，两向量夹角为直角共有8种情形；所以小波参加学校合唱团的概率为82(0)287P。（2）两向量数量积的所有可能取值为2,1,0,1,2时，有两种情形；1时，有8种情形；1时，有10种情形。所以的分布列为：2101P114514272715223(2)+(1)0114147714E。19.（本大题满分12分）解：（1）在ABD中，因为E是BD的中点，所以1EAEBEDAB,故,23BADABEAEB，因为DABDCB,所以EABECB,从而有FEDFEA，故,EFADAFFD,又因为,PGGD所以FG∥PA。又PA平面ABCD，所以,GFAD故AD平面CFG。（2）以点A为坐标原点建立如图所示的坐标系，则33(0,0,0),(1,0,0),(,,0),(0,3,0)22ABCD,3(0,0,)2P，故1333333(0),(,),(,,0)2222222BCCPCD，，，设平面BCP的法向量111(1,,)nyz，则111130223330222yyz，解得113323yz，即132(1,,)33n。设平面DCP的法向量222(1,,)nyz，则222330223330222yyz，解得2232yz，即2(1,3,2)n。从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为1212423cos41689nnnn。20.（本大题满分13分）解：（1）由3(1,)2P在椭圆上得，221914ab①依题设知2ac，则223bc②②代入①解得2221,4,3cab。故椭圆C的方程为22143xy。（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为(1)ykx③代入椭圆方程223412xy并整理，得2222(43)84(3)0kxkxk，设1122(,),(,)AxyBxy，则有2212122284(3),4343kkxxxxkk④在方程③中令4x得，M的坐标为(4,3)k。从而121231233331222,,11412yykkkkkxx。注意到,,AFB共线，则有AFBFkkk，即有121211yykxx。所以1212121212123331122()1111212yyyykkxxxxxx1212122322()1xxkxxxx⑤④代入⑤得22122222823432214(3)8214343kkkkkkkkkk，又312kk，所以1232kkk。故存在常数2符合题意。方法二：设000(,)(1)Bxyx，则直线FB的方程为：00(1)1yyxx，令4x，求得003(4,)1yMx，从而直线PM的斜率为0030212(1)yxkx，联立0022(1)1143yyxxxy，得0000583(,)2525xyAxx，则直线PA的斜率为：00102252(1)yxkx，直线PB的斜率为：020232(1)ykx，所以00000123000225232122(1)2(1)1yxyyxkkkxxx，故存在常数2符合题意。21.（本大题满分14分）（1）证明：因为11()(12),()(12)22fxaxfxax