三角函数、解三角形高考常见题型解题思路及知识点总结

1三角函数、解三角形高考常见题型解题思路及知识点总结一、解题思路（一）解题思路思维导图（二）常见题型1.三角恒等变换已知正切值求正弦、余弦齐次式值问题典例1：（2016年3卷）若3tan4，则2cos2sin2（）(A)6425(B)4825(C)1(D)1625【解析】2cos2sin225641tantan41cossincossin4cos2222故选A．2.三角恒等变换给值求值问题解题思路及步骤注意事项化为同角齐次式把式子每一项化为关于正弦、余弦的齐次式除以余弦化切分子、分母同除以余弦最高次幂，将式子化为正切，若不是分式，可以通过除1=22cossin化为分式齐次式代入求值将正切值代入化简求值解题思路及步骤注意事项化简应用诱导公式等把条件或结论尽量化简确定关系通过已知角（或其两倍）和未知角（或其两倍）之间的和、差运算消掉变量，看是否得到2的整数倍，若是则可以相互转化用已知表示未知根据未知角与已知角关系，用已知角（看成一个整体，不能分开）表示未知角求值通过诱导公式、二倍角公式将未知角三角函数值转化为已知角三角函数值2典例2：（2016年2卷9）若π3cos45，则sin2=（）（A）725（B）15（C）15（D）725【解析】∵3cos45，2ππ7sin2cos22cos12425，故选D．3．图象法求三角函数xAysin00，A性质典例3：（2017年3卷6）设函数π()cos()3fxx，则下列结论错误的是（）A．()fx的一个周期为2πB．()yfx的图像关于直线8π3x对称C．()fx的一个零点为π6xD．()fx在π(,π)2单调递减【解析】函数πcos3fxx的图象可由cosyx向左平移π3个单位得到，如图可知，fx在π,π2上先递减后递增，D选项错误，故选D.4．复合函数法求三角函数xAysin00，A性质解题思路及步骤注意事项化为xbxacossin若表达式不同角或二次式，一般需用二倍角公式化为同角或降次化为xAysin用辅助角公式将第一步所得式子化为xAysin形式画图象用“五点作图法”根据需要作出函数部分图象，步骤是：（1）求周期2T；（2）求周期起始点横坐标x；（3）写出相邻点横坐标，往右为4Tx，往左为4Tx，以此类推，画出能解决问题的图象部分．注意：①若00，A，则根据xfy与xfy-图象关于x轴对称关系画出其图象；②若0，则根据诱导公式转化为大于零情况解决写性质根据图象写出函数对称轴、对称中心、单调区间、最值等性质解题思路及步骤注意事项化为xbxacossin若表达式不同角或二次式，一般需用二倍角公式化为同角或降次化为xAysin用辅助角公式将第一步所得式子化为xAysin形式写出外函数满足条件把原函数看成由内函数xu和外函数uAysin构成的复合函数，对称轴由Zkku2求得，对称中心横坐标由Zkku求得、单调增区间由Zkkuk2222求得，单调减区间由Zkkuk22322求得等等．注意：若不满足00，A条件，则根据复合函数“同增异减”原则确定单调区间转换为内函数满足条件将以上方程或不等式中的u用x代换，并解出x的值或范围-6xyO35．求三角函数BxAysin2,00，A解析式典例4：（2015年1卷8）函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（）（A）（B）（C）（D）【解析】由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D.考点：三角函数图像与性质6．三角函数图象的平移与伸缩变换典例5：（2017年1卷9）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+)，则下面结论正确的是A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2()fxcos()x()fx13(,),44kkkZ13(2,2),44kkkZ13(,),44kkkZ13(2,2),44kkkZ1+4253+42==4()cos()4fxx22,4kxkkZ124kx324kkZ124k324kkZ2π3π6π12写性质根据解出x的值或范围写出函数对称轴、对称中心、单调区间、最值等性质解题思路及步骤注意事项求A和Bmaxmin12yy，maxmin12yy，求先求周期T，再由求2T求求代入已知点坐标，根据的具体范围求出，一般代入最值点，若代入与By的交点，注意区分是在增区间还是减区间上求解析式写出解析式解题思路及步骤注意事项写出变换法则把变换前的函数看成抽象函数xfy，根据变换法则写出变换后的抽象函数代入表达式根据原函数解析式写出变换后的解析式，例如：xfy=62sin3x向右平移4个单位后得函数4xfy=32sin3642sin3xx，其他变换都按这个方法确定变换后解析式4C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【解析】先变周期：先变相位：选D．7.解三角形知一求一问题8.解三角形知三求一问题典例6：（2017年2卷17）的内角的对边分别为，已知．(1)求;(2)若，的面积为2，求解析:（1）依题得．因为，所以，所以，得（舍去）或.12π612π122cossinsin2sin2sin2223122yxxyxyxx22cossinsinsinsin222633yxxyxxyxABC△,,ABC,,abc2sin8sin2BACcosB6acABC△.b21cossin8sin84(1cos)22BBBB22sincos1BB2216(1cos)cos1BB(17cos15)(cos1)0BBcos1B15cos17B解题思路及步骤注意事项边角互化通过正弦定理、余弦定理、三角形内角和、诱导公式等将题目中复杂条件统一为边或统一为角，达到消元目的化简方程化边注意余弦定理应用或因式分解化简方程，化角注意两角和与差公式的应用，在约去同角三角函数值时要明确它是否为零解方程求边注意整体代入，求角要先写出角的范围再根据三角函数值写出角的值解题思路及步骤注意事项画出草图根据条件尽量画出符合条件的图形，并标注已知条件，观察已知三个条件属于什么类型列方程组根据题目条件列方程，一般地，①已知三边、已知两边及夹角用余弦定理；②已知两角（等价于已知三个内角）及一边用正弦定理；③已知两边及一边的对角用正弦定理和余弦定理都可以，这种情况要注意判断是一个解还是两个解.若涉及多个三角形，则抓住两个三角形公共边、公共角、互补角、互余角、角平分线性质等列方程解方程边的方程注意整体代入进行消元，求角要先写出角的范围再根据三角函数值写出角的值5（2）由⑴可知，因为，所以，即，得.因为，所以，即，从而，即，解得．9.解三角形知二求最值（或范围）问题典例7：(2013年2卷17)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB.(1)求B.(2)若b=2，求△ABC面积的最大值.【解析】(1)因为a=bcosC+csinB，所以由正弦定理得:sinA=sinBcosC+sinCsinB，所以sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB，即cosBsinC=sinCsinB，因为sinC≠0，所以tanB=1，解得B=.4(2)由余弦定理得:b2=a2+c2-2accos4，即4=a2+c2-2ac，由不等式得a2+c2≥2ac，当且仅当a=c时，取等号，所以4≥(2-2)ac，解得ac≤4+22，所以△ABC的面积为12acsin4≤24×(4+22)=2+1.所以△ABC面积的最大值为2+1.典例8：（2011年1卷16）在中，，则的最大值为.令ABc，BCa，则由正弦定理得【解析】32,sinsinsin32acACACB2sin,2sin,cCaA且120AC，222sin4sinABBCcaCA2sin4sin(120)CC＝2sinC314(cossin)4sin23cos22CCCC27sin(+)C(其中3tan)2当90C时，2ABBC取最大值为27.8sin17B2ABCS△1sin22acB182217ac172ac15cos17B22215217acbac22215acb22()215acacb2361715b2bABCV60,3BAC2ABBC解题思路及步骤注意事项画出草图根据条件尽量画出符合条件的图形，并标注已知条件最值化边或化角通过正弦定理最值式子化边或化角表示，若能化成一边表示，则用函数求最值，若化为两边表示则用基本不等式或重要不等式求最值；若化角表示，先用内角和化为同一个角，再用辅助角公式转化为函数y=Asin(ωx+φ)的最值问题求最值化边用基本不等式求最值时要写出取得等号的条件，化角用三角函数求最值时要先求出角ωx+φ的取值范围6二、知识点总结（一）知识点思维导图（二）常用定理、公式及其变形1.同角三角函数关系：221sincos12222sin1cos,cos1sin；sin2tancossinsintancos,costan．2.诱导公式：对于角2k与角的三角函数关系“奇变偶不变，符号看象限”，这句话是对变化前的函数和角来说的.例如在三角形，∵，∴ABCABC3.两角和与差公式：sin()sincoscossin；cos()coscossinsin；tantantan()1tantan.74.二倍角公式：（1）升幂公式：sin2sincos，2222cos2cossin2cos112sin，22tantan21tan（2）降幂公式：221cos21cos2cos,sin225.辅助角公式：sincosab=22sin()ab(辅助角所在象限由点(,)ab的象限决定，tanba).6．正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：7．函数sin0,0yx的性质：振幅：，周期：2，频率：12f，相位：x，初相：．sinyxcosyxtanyx图象定义域RR,2xxkk值域1,11,1R最值当22xkk时，max1y；当22xkk时，min1y．当2xkk时，max1y；当2xkk时，