如何理解几何直观

浅谈几何直观的含义数学是研究数量关系与空间形式的科学。空间形式最主要的表现就是图形。在数学研究、学习、讲授中，不仅需要关注研究图形的方法、研究图形的结果，还需要感悟图形给我们带来的好处，几何直观就是在“数学――几何――图形”这样的一个关系链中让我们体会到它带来的最大好处。《课程标准（2011版）》中指出：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。几何直观所指有两点：一是几何，这是主要是指图形；二是直观，这里的直观不仅仅是指直接看到的东西（直接看到的是一个层次），更重要的是依托现在看到的东西，以前看到的东西进行思考、想象、综合起来，几何直观就是依托、利用图形进行数学的思考和想象。它在本质上是一种通过图形所展开的想象力。用最通俗的话说几何直观，就是看图想事，看图说理，也包括想图、画图、表达想法。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。培养学生的几何直观（1）使学生养成画图习惯,鼓励用图形表达问题可以通过多种途径和方式使学生真正体会到画图对理解概念、寻求解题思路上带来的便利。在教学中应有这样的导向：能画图时尽量画，其实质是将相对抽象的思考对象“图形化”，尽量把问题、计算、证明等数学的过程变得直观，直观了就容易展开形象思维，无论计算还是证明，逻辑的、形式的结论都是在形象思维的基础上产生的。（2）重视变换----让图形动起来几何变换或图形的运动既是学习的对象，也是认识数学的思想和方法。在数学中，我们接触的最基本的图形都是对称图形，例如球、圆锥、圆台、正多面体、圆、正多边形、长方体、长方形、菱形、平行四边形等；另一方面，在认识、学习、研究非对称图形时，又往往是运用这些对称图形为工具的。变换又可以看作运动，让图形动起来是指再认识这些图形时，在头脑中让图形动起来，例如，平行四边形是一个中心对称图形，可以把它看作一个刚体，通过围绕中心（两条对角线的交点）旋转180度，去认识、理解、记忆平行四边形的其他性质。充分地利用变换去认识、理解几何图形是建立几何直观的好办法。（3）学会从“数”与“形”两个角度认识数学数形结合首先是对知识、技能的贯通式认识和理解。以后逐渐发展成一种对数与形之间的化归与转化的意识，这种对数学的认识和运用的能力，应该是形成正确的数学态度所必需要求的。（4）掌握、运用一些基本图形解决问题把让学生掌握一些重要的图形作为教学任务，贯穿在义务教育阶段数学教学、学习的始终。例如，除了前面指出的图形，还有数轴，方格纸，直角坐标系等等。在教学中要有意识地强化对基本图形的运用，不断地运用这些基本图形去发现、描述问题，理解、记忆结果，这应该成为教学中关注的目标。如：在讲解圆锥的侧面积和全面积时，很多学生不理解，死记硬背又记不牢。所以在讲解之前我准备了几个扇形的纸板。同时也让学生自己动手制作了扇形。对上节课的知识进行了复习。制作完扇形后让学生小组合作将所制作的扇形围起来看看是个什么图形。有了这个基础之后，我通过手中的圆锥模型将其各部分的名称讲解。然后让学生通过自己手中的模型再进行熟悉彼此交流。有了这个直观的模型，学生很容易就想到了圆锥的侧面是扇形，进而侧面积就解决了。然后再进行公式之间的转化。圆锥的高、母线长和底面圆的半径之间的关系凭空想象有一定难度，但借助了这个直观的集合模型，一切问题都不是问题了。培养学生几何直观能力要达到的目标。通过研讨，大家一致达成共识，培养学生几何直观能力要让学生形成如下三种能力：1、空间想象能力；2、直观洞察能力；3、利用几何直观解决问题的能力。培养学生几何直观能力的常见策略有哪些？1、数形结合的策略；数学是研究数量关系和空间形式的科学。而数形结合的思想就是抓住了数学的本质数与形，把抽象的数与具体的形结合在一起，让数与形有机结合，从而培养学生几何直观的能力。比如在教学小数除以整数一课，如何让学生理解小数除以整数的算理，我们就采用了数形结合的策略。结合图示说算理。用11个小正方形表示11个1，用涂色部分表示0.5.把11.5平均分给5袋牛奶，每袋2元，还剩1.5元。1元不能直接分，把1.5元转化成15角，也就是15个0.1，平均分给5袋牛奶，每袋3角，也就是3个0.1元，2元和0.3元就是2.3元。当图形直观的呈现分不完有剩余的情况下，我们就把余下的数转化成计数单位更小的数进行计算。小学生正处在形象思维向抽象思维过渡的阶段。图示，把抽象的算理变得直观可见，学生一下子就明白小数除以整数的计算方法，理解了商的小数点为什么要和被除数的小数点对整齐。几何直观凭借图形的直观性特点将抽象的数学语言转化成直观的图形，让学生由形象思维慢慢过渡到抽象思维，帮助学生灵活的思维，开启智慧的大门。2、动手操作的策略；理解运算的意义往往要经历四个阶段：情境感知、动作表征、语言表征、符号表征。情境往往是教材提供给学生，或者是老师提供的，在感知的基础上，学生如何进一步理解情境，明白情境中蕴含的数量关系。在小学阶段，我们常用的手段就是动手操作。动手操作的目的，就是要建立概念的表象。而这一活动在人脑海中形成的表象和图形很相似，它都有具体的成像。从这里开始，几何直观逐步萌芽。比如加法，在学生的手中，就是把两部分合并，或者在一部分的基础上增加，或者从别的地方移入新的一部分。“合并”、“增加”、“移入”在这里都不是抽象的概念，而是学生活生生的操作活动。学生理解概念，正是从这些简单的操作入手，慢慢内化成语言，最后归纳总结形成比较规范严密的定义。3、化静为动的策略。化静为动的策略在小学数学中有两种体现。一是让学生感受图形的变换，比如基本图形组合成组合图形，组合图形分解成基本图形。还有基本图形通过平移或者旋转变成新的图案。这里主要体现图形的运动。但是在小学数学课中，化静为动更多的体现是，把静止的数量关系转化为可见的图形。比如圆面积公式的推导。学生会计算平行四边形的面积，通过分割与拼组，把圆形转化成近似的平行四边形。通过动手操作，感知平行四边形的底就是圆周长的1\2,平行四边形的高是圆的半径。因为平行四边形的面积等于底乘高，所以圆的面积等于π。化静为动，让学生经历了圆面积公式的形成过程.为学生的空间想象打基础，为直观洞察做铺垫，并且利用几何直观帮助学生理解了圆面积与圆半径之间的数量关系。在短时间内完成教学目标，提高课堂的成效。1．运用几何直观，建立数学概念数学概念是抽象化的空间形式和数量关系,是反映数学对象本质属性的思维形式。小学阶段学生很难理解过于抽象的概念，那么我们可以利用几何直观，使学生透过现象看到本质。如在执教的《分数的初步认识》一课中我是这样做的：新课以《小熊分饼》的故事引入，引出一半这个词。让学生运用手中的学具“圆形”来分一分。通过学生动手分饼的过程，引出这一半可不可以用一个数来表示？学生说了很多自己认为合理的数来表示一半。在学生已经清楚这一半的含义的时候，教师引出结论：这个一半可以用这样的数表示。一条线表示把这张饼平均分成两份，我们把数字2写在这条线的下面，取其中的一份，我们把它写在这条线的上面。这个数读作二分之一。请同学们找出你们喜欢的几何图形，动手再折一折这个二分之一。接着老师说这个二分之一，如：一个西瓜平均分成两份，这样一份就是二分之一。学生也像老师一样举例说二分之一。老师接着问：“你还能说出其他这样几分之一的分数吗？”学生很快举出了这样的例子，这时教师适时小结：像这样二分之一，三分之一等的数就叫分数。学生通过自己的动手折一折，理解了分数的概念。2、运用几何直观，理解有余数除法计算能力是学生应具备的基本能力。然而对于计算算理的理解，是我们提高计算能力的先决条件。在一次听课过程中，听到了这样一节关于有余数除法的教学案例。老师请同学们拿出事先准备好的小棒，然后请同学们按老师要求做：请拿出四根小棒，摆出正方形。然后教师提问：“你摆了几个正方形，还剩几根小棒？”学生回答说：“摆了一个正方形，没有剩余小棒。”那我们怎么样用除法算式表示呢？学生说老师在黑板中摆出了除法算式。接着老师又请同学们拿出五根小棒，同样摆出正方形，然后提问，这回你摆了几个正方形，还剩几根小棒？学生回答后，教师提问。这个算式我们要怎么表示呢？后来在教师的陈述下引出了有余数除法算式的书写，认识了余数。通过直观的图形，学生了解了余数的含义，知道了为什么余数一定要比除数小的道理，能够正确书写算式。3、运用几何直观，寻找解题策略心理学家皮亚杰根据儿童的认知理论将儿童化为四个阶段，而小学阶段的孩子正处于具体运算水平阶段。此时的孩子很难理解复杂的数量关系，我们只有借助图形使之直观化，形象化，简单化。才能帮助学生有效寻求解题策略。在二年级的期末复习中有这样的一道创新思维题：学校门前有6盆玫瑰花，如果每两盆花之间，放入三盆月季花，那么一共要放多少盆月季花呢？在处理这道题时，建议学生采用画示意图的方法，(如下图：三角形代表玫瑰花，圆形代表月季花)几何直观能力培养的教育价值首先，几何直观是一种创造性思维，是一种很重要的科学研究方式，在科学发现过程中起到不可磨灭的作用。对于数学中的很多问题，灵感往往来自于几何直观。数学家总是力求把他们研究的问题尽量变成可借用的几何直观问题，使他们成为数学发现的向导，随着现代科技的发展，几何直观在计算机图形学、图象处理、图象控制等领域都有诱人的前景。其次，几何直观是认识论问题，是认识的基础,有助于学生对数学的理解。借助于几何直观、几何解释，能启迪思路,可以帮助我们理解和接受抽象的内容和方法，抽象观念、形式化语言的直观背景和几何形象，都为学生创造了一个自己主动思考的机会，揭示经验的策略，创设不同的数学情景，使学生从洞察和想象的内部源泉入手，通过自主探索、发现和再创造，经历反思性循环，体验和感受数学发现的过程；使学生从非形式化的、算法的、直觉相互作用与矛盾中形成数学观。最后，几何直观是揭示现代数学本质的有力工具，有助于形成科学正确的世界观和方法论。借助几何直观，揭示研究对象的性质和关系，使思维很容易转向更高级更抽象的空间形式，使学生体验数学创造性工作历程，能够开发学生的创造激情，形成良好的思维品质。几何直观已经成为数学界和数学教育界关注的问题，那么如何培养学生的几何直观能力、如何更好地发挥几何直观性的教学价值，是每个数学教育工作者都应该深思的问题。通过这个简单的教学案例，我们就可以看出几何直观对数学教学的重要作用。