数学分析 第八章 重积分

第八章重积分§1.二重积分的概念1.平面集合的面积2.二重积分的定义设是平面上的一个有界闭区域.是零面积集合.是定义在上的函数.用两组相互横截的曲线将分成个小区域.并进一步假定分割的曲线都是零面积的.令.再任取,考察和记DDDDD(,)zfxyn:,,nTDD1()iimD(,)iiiD(,)niiiif1()sup(,):,iidiamDdppppD1212如果存在数,对,,使得只要,不论分割曲线组及中间点如何选取，那么就称在上可积.称为在上的二重积分.记作或.II00(,)niiiifI1max():idiamDin1(,)zfxy(,)zfxyDD(,)DIfxyd(,)DIfxydxdy3.可积的必要条件与充分条件定理1.1若在可求面积的有界闭区域上可积,则在上有界.定理1.2设是平面上有界闭区域,边界是零面积集合.又设在上连续,则在上可积.(,)zfxy(,)zfxy(,)zfxy(,)zfxyDDDDD4.二重积分的基本性质(1)(2)(,)(,)DDkfxydkfxydDDDfgdfdgd(3)(区域可加性)设且,都是可求面积的,在上均可积,则在上可积,且.DDD12DD12,DD12,DD12ffDDDDfdfdfd12(4)若,,则.DDfdgd(,)(,)fxygxy(,)xyD(5)积分中值定理设在可求面积的有界闭区域上连续,则在上至少存在一点,使得,其中的面积.(,)fxyDD(,)xyD00()SmDD(,)(,)DfxydfxyS00§2.二重积分的计算1.化二重积分为累次积分定理2.1设在有界闭区域连续,,其中是上连续函数,则,上式右端积分称为累次积分.(,)fxyD(,):,()()Dxyaxbxyx12,12[,]ab()()(,)(,)bxaxDfxydxdyfxydydx21例1求.例2求.例3写出所对应的累次积分,其中由所围.()DyIdxdyxy32221()DIxxydxdy3(,)DfxydxdyD,,,yyyxyx0112.利用对称性化简计算例4.设,求,.例5.求.(,):Dxyxya222sincosDIxyd1DIxyd2(sinsin)DIxyd3.极坐标下二重积分的计算定理2.2设为可求面积的有界闭区域,在上可积,则其中.DD*(,):(cos,sin)DrrrD*(,)(cos,sin)DDfxydfrrrdrd(,)fxy例6.设,,求.例7.将用极坐标化成二次积分,其中为(1)(2)由所围成(3)由所围成(,)fxyxy2(,):(,)Dxyaxybab222200(,)Dfxyd(,)DfxydD(,):()Dxyxyaxa220,,,yxyxxyxxyx2222248,,yyxx01例8.求,其中是在第一卦限的部分.xyR222RDRxyDed22§3.二重积分的一般变元替换法则设在可求面积的有界闭区域中连续.假定是一一对应,其中是有界闭区域.,在中有连续的一阶偏导数,并且,.(,)zfxyD:,(,)(,)FGDuvxyG(,)xxuv(,)yyuvG(,)(,)xyuv0(,)uvG定理3.1在上述假定下,有下列公式(,)(,)((,),(,))(,)DGxyfxydfxuvyuvdudvuv推论.在上述假定下,区域的面积D(,)()(,)GxymDdudvuv例1.,求.例2.,求.例3.求所围区域的面积.(,):,Dxyxyxy0101()xyDIxyedxdy222xyabDIedxdy2222(,):xyDxyab22221,,,yaxybxyxyx22D§4.三重积分的概念与计算1.三重积分的概念设是中可求体积的有界闭区域.是上函数.分割成个互不重叠的可求体积的小区域任取,,.R3(,,)fxyzn:,,nT1(,,)iiiixyz()iiVm()max():1,,iTdiamin若对的任一分割法及中间点的任意选取,Riemann和的极限总存在,且为同一极限值,则称为在的三重积分,记为或.III