医疗保障基金额度的分配数学模型

医疗保障基金额度的分配数学模型1摘要：本文针对某一下设四个子公司的集团关于医疗保障基金额度的合理分配问题，科学地运用了的BP神经网络拟合方法、最小二乘法、权重比例法和概率分布等预测方法，成功建立了两种的医疗保障基金额度的分配模型，求解出了这两种分配方案的分配结果，并比较了两者的优劣性及自身的优缺点。解决医疗保障基金额度的分配问题，就是为了使固定资源得到最优配置。本文提出了两个基本模型，模型一：将四个子公司1980-2003年医疗保障费用支出占总支出的比例计算出来，再求出各子公司1980-2003年所占比例的平均值。用所得的各子公司的平均比例来预测相应子公司在2004年医疗保障费用支出所占总支出的比例，然后将80万的医疗保障基金按该比例分配给四个子公司。模型二：分为两步，（1）先用神经网络方法拟合各个子公司从1980-2003年的医疗保障费用支出曲线，并用拟合出的曲线来预测2004年各个子公司的医疗保障费用支出。（2）计算出四个子公司2004年医疗保障费用支出的总额，再求出各子公司的医疗保障费用支出占总额的比例，然后将80万的医疗保障基金按各子公司所占比例分配给相应的子公司。模型一的分配方案：A公司为18.14万元，B公司为17.82万元，C公司为20.21万元，D公司为23.84万元。模型二的分配方案：（1）（预测2004年医疗保障基金支出时未考虑通货膨胀指数）A公司为19.63万元，B公司为16.55万元，C公司为23.91万元，D公司为19.90万元；（2）（预测2004年医疗保障基金支出时考虑了通货膨胀指数）A公司为20.02万元，B公司为15.95万元，C公司为23.99万元，D公司为20.04万元。本文利用神经网络拟合法、权重比例法和概率分布的预测方法来预测2004年的数据，并利用分配额对需求额的满足率来验证分配方案的合理性；以及用MATLAB编程拟合曲线得到预测曲线，提高了预测值的可信度。关键词：BP神经网络数学模型基金分配函数逼近最小二乘法预测2一、问题重述某集团下设四个子公司：子公司A、子公司B、子公司C和子公司D。各子公司财务分别独立核算。每个子公司都实施了对雇员的医疗保障计划，由各子公司自行承担雇员的全部医疗费用。过去的统计数据表明，每个子公司的雇员人数以及每一年龄段的雇员比例，在各年度都保持相对稳定。四个子公司各年度的医疗费用支出见附录表（1）。为进一步规范各个子公司的医疗保障计划，集团董事会规定，在2003年底,各个子公司均需以银行活期存款的方式，设立医疗保障基金，基金专门用于支付2004年度雇员的医疗费用。并规定每个子公司的医疗保障基金只能用于支付本子公司雇员。已知2004年银行活期存款利率为1%。董事会综合考虑了各种因素，确定本集团设立的2004年度医疗保障基金的总额度为80万元，这一额度在四个子公司之间分配。对于各子公司，如果2004年度总的医疗费用支出低于该子公司的医疗保障基金的额度，则雇员可以及时得到医疗方面的保障。而如果总的医疗费用超过了医疗保障基金的额度，则子公司需要通过其他渠道来筹措超出部分的额度。这会导致某些雇员无法及时报销医疗费用。试确定80万元医疗保障基金在四个子公司之间的分配方案，并论证方案优良性。附录表（2）给出了相关年度的通货膨胀指数。二、模型假设1、假设各子公司都是按活期存款利率为1%进行存款；2、假设各子公司在2004年底才发放医疗保障基金；3、假设在2004年中,该集团的雇员健康状况不会发生突变；4、假设在2004年没有大规模的疾病出现；5、假设公司的80万元在1月1日前准时到位；6、假设各子公司人员人数及年龄结构固定不变。三、主要变量符号说明ija：第i(i=1,2,3,4)个子公司在第j年的医疗费用支出占该年总支出的比例；ia：第i(i=1,2,3,4)个子公司医疗费用支出所占比例的平均值；ib：第i(i=1,2,3,4)i个子公司在2004年的医疗费用支出；r：2004年银行活期存款年利率为1%；m：2004年初医疗保障基金总额80万元；n：2004年末医疗保障基金总额；ic：未考虑通货膨胀指数时预测第i(i=1,2,3,4)个子公司在2004年的医疗费用支出；id：未考虑通货膨胀指数时2004年年初分配到第i(i=1,2,3,4)个子公司的基金总额；it：未考虑通货膨胀指数时预测第i(i=1,2,3,4)个公司在2004年的医疗费用支出占该3年总支出的比例；ie：未考虑通货膨胀指数时2004年年末第i(i=1,2,3,4)个子公司的基金总额；il：未考虑通货膨胀指数时第i(i=1,2,3,4)个子公司不能及时报销的额度；ix：未考虑通货膨胀指数时第i(i=1,2,3,4)个子公司不能及时报销的额度占该公司医疗费用支出的比例；q：未考虑通货膨胀指数时预测的2004年医疗费用支出的总额；iP：第i(i=1,2,3,4)年的通货膨胀指数；if：考虑通货膨胀指数后第i(i=1,2,3,4)个子公司的预测值；ih：考虑通货膨胀指数后年末第i(i=1,2,3,4)个子公司的基金总额；ijw：第i(i=1,2,3,4)个子公司在第j(j=1980,1981…2004)年的医疗费用支出；ij：第i(i=1,2,3,4)个子公司在第j(j=1980,1981…2004)年医疗保障费用支出按通货膨胀指数转换成1980年的货币值;ij：第i(i=1,2,3,4)个子公司在2004年年末的医疗费用支出；ik：考虑通货膨胀指数后第i(i=1,2,3,4)个子公司在2004年的医疗费用支出占该年总支出的比例；ig：考虑通货膨胀指数后第i(i=1,2,3,4)个子公司在2004年年初的医疗费用支出；ih：考虑通货膨胀指数后第i(i=1,2,3,4)个子公司在2004年年末的医疗费用支出；io：考虑通货膨胀指数后第i(i=1,2,3,4)个子公司不能及时报销的额度；iy：考虑通货膨胀指数后第i(i=1,2,3,4)个子公司不能及时报销的额度占该公司医疗费用支出的比例；z:考虑通货膨胀指数时预测的2004年医疗费用支出的总额；i：第i(i=1,2,3,4)个子公司的医疗基金满足率；四、模型的建立和求解4.1问题分析解决医疗保障基金额度的分配问题，就是为了使固定资源得到最优配置，由题设知，四个子公司在1980-2003年的医疗保障费用支出，又根据模型基本假设：在2004年中,4该集团的雇员健康状况不会发生突变；在2004年没有大规模的疾病出现等条件，不难预测出2004年各子公司的医疗保障费用支出，从而分配医疗保障基金。通过数据具体分析，发现影响费用因素可能存在其他因素，即通货膨胀指数并不是唯一影响，进而建立不同模型讨论分配情况，现提出两个基本模型，模型一：将四个子公司1980-2003年医疗保障费用支出占总支出的比例计算出来，再求出各子公司1980-2003年所占比例的平均值。用所得的各子公司的平均比例来预测相应子公司在2004年医疗保障费用支出所占总支出的比例，然后将80万的医疗保障基金按该比例分配给四个子公司。模型二：分为两步，（1）先用BP神经网络方法拟合各个子公司从1980-2003年的医疗保障费用支出曲线，并用拟合出的曲线来预测2004年各个子公司的医疗保障费用支出。（2）计算出四个子公司2004年医疗保障费用支出的总额，再求出各子公司的医疗保障费用支出占总额的比例，然后将80万的医疗保障基金按各子公司所占比例分配给相应的子公司。4.2模型一：概率分布预测模型根据统计数据，作出四个子公司A、B、C、D在1980-2003年医疗保障费用支出图，如下（图1）所示：图1计算出1980-2003年各子公司医疗保障费用支出占总支出的比例（见附表（1）），分别计算出各子公司1980-2003年所有比例的平均值：24241iijiaa，代入数据得：1a=0.2267;2a=0.2228;3a=0.2526;4a=0.2979。将以上求出的比例作为2004年各子公司医疗保障费用支出占总支出的比例的预测值。将80万的医疗保障基金按这一比例分配给四个子公司：（单位：万元）分配公式：ib=m*ia(i=1,2,3,4),代入数据得:A公司分配基金额度为：1b=80*1a=18.14；5B公司分配基金额度为：2b=80*2a=17.82；C公司分配基金额度为：3b=80*3a=20.21；D公司分配基金额度为：4b=80*4a=23.84。2004年年底各子公司可以从银行取出的最大金额:（单位：万元）A公司为：1j=1b+1b*r=18.32；B公司为：2j=2b+2b*r=18.00；C公司为：3j=3b+3b*r=20.22；D公司为：4j=4b+4b*r=24.08。该分配结果如图2所示:图24.3模型二：权重比例模型4.3.1各个子公司历年医疗保障基金支出曲线拟合及2004年支出预测(未用通货膨胀指数)用MATLAB编程实现，并对1980-2003年数据插值,拟合出各子公司历年医疗保障费用支出曲线如图3所示：6此图的程序见附录源程序（1）。以此曲线预测出2004年A、B、C、D公司医疗保障费用支出值：1c=20.32;2c=17.13;3c=24.75;4c=20.60。计算出各子公司预测支出值所占总支出的比例：1t=0.2454；2t=0.2069；3t=0.2989；4t=0.2488。将80万的医疗保障基金按这一比例分配给四个子公司：（单位：万元）分配公式：id=m*it。A公司分配基金额度为：1d=80*1t=19.63；B公司分配基金额度为：2d=80*2t=16.55；C公司分配基金额度为：3d=80*3t=23.91；D公司分配基金额度为：4d=80*4t=19.90。2004年年底各子公司可以从银行取出的最大金额:（单位：万元）A公司为：1e=1d+1d*r=19.83；B公司为：2e=2d+2d*r=16.72；C公司为：3e=3d+3d*r=24.15；D公司为：4e=4d+4d*r=20.10。各子公司不能及时报销的保障金：（单位：万元）il=ic-ie（i=1，2，3，4）；各子公司不能及时报销的保障金占相应公司医疗保障基金预测支出的百分比：A公司为：1x=1l/1c=2.42%；B公司为：2x=2l/2c=2.42%；C公司为：3x=3l/3c=2.42%；D公司为：4x=4l/4c=2.42%。4.3.22004年医疗保障费用支出的预测最小二乘法预测2004年通货膨胀指数:最小二乘法原理:7函数mnRRDf:为miRRDfxfxfxfxfmim,,1,:)),(,),(),(()(21定义函数:))(),((21)()(21)(xfxfxfxfxT,将问题))(),((21min)(minxfxfxDxDx称为为最小二乘问题。设函数f在D上可微jiijiniiixxfxfmixfxfxfxf/)()(,,,1)),(,),(),(()(21miTTTiixfxDfxfxfx1)()()()()()()()()()()()(11111xfxfxfxfxfxfxDfmnmnm极值问题的必要条件,上式的极值点一定满足方程0))(),(()(xfxDfx。解方程组的数值方法:设在Dxk近,向量值函数的线性逼近函数为kkkbxAxL)(,逼近方程:0)())(()(xLxDLxkTk迭代)()(])[(11kTkkTkkkxfAAAxx。最小二乘法的迭代格式:解得:)()(])[(11kTkkkTkkkkxfAIuAAxx通过最小二乘法原理求得通货膨胀指数随时间变化函数关系式为:3010200045103528.22003751.0)(23ttttf通货膨胀指数的拟合曲线（程序见附录源程序（2））如图4所示图4)()(])[(,1,0),(1kTkkkkTkkkkkxfA