数学分析试题库--计算题、解答题

1数学分析题库（1-22章）四．计算题、解答题求下列极限1.24lim2nnn；2.111lim(1)1223(1)nnn；3.01limsinxxex；4.10(1)limxxxex；5.31lim1nnn；6.211lim(1)nnnn；7.612sinlimcos3xxx；8.011lim()1xxxe；9.xxxxxsintanlim0;10．10lim(sin2cos)xxxx；求下列函数的导数或微分11.cosxyex；12.ln(ln)yx；13.sinxyx；14.求函数sinyx的各阶导数；15.sin2xyex16.ln(cosln)yxx217.sin(cos)xyx18.求函数cosyx的各阶导数；19．设xxy1tan3，求dxdy；20.设xexvxxu)(,ln)(，求)(),(33vuduvd；21.32(arctan)yx，求y;22.xxyx，求y;23.求由参量方程;sin,costeytextt所确定的函数的二阶导数22dydx;24.设3xyxe,试求(6)y.25.试求由摆线方程(sin),(1cos)xattyat所确定的函数()yfx的二阶导数26.求函数11xxxf的单调区间、极值、凹凸区间及拐点.27．设函数0001sin)(xxxxxfm（m为正整数），试问：（1）m等于何值时，f在0x连续；（2）m等于何值时，f在0x可导；（3）m等于何值时，f在0x连续.28．试问函数32)(,)(xxgxxf在区间[-1,1]上能否应用柯西中值定理得到相应的结论，为什么？29．设0001sin)(24xxxxxf（1）证明：0x是极小值点；（2）说明f的极小值点0x处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件.30．若对任何充分小的0，f在],[ba上连续，能否由此推出f在),(ba内连续.331.试求2()ln(1)fxx到6x项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式.32.试求函数32|2912|yxxx在[1,3]上的最值和极值.33.求函数155345xxxy在[1,2]上的最大最小值：34.确定函数25363223xxxy的凸性区间与拐点.35.举例说明:在有理数集内,确界原理和单调有界定理一般都不成立.36..举例说明:在有理数集内,聚点定理和柯西收敛准则一般都不成立.37.设11,1,2,2Hnnn.问能否从H中选出有限个开区间覆盖10,2,说明理由.38.求不定积分3duuu.39.求不定积分22(0)axdxa.40.求不定积分arctanxxdx.41.求不定积分2321xdxx.42.求不定积分122xdxxx.43.求不定积分53cosdxx.44.计算定积分1lneexdx.45.计算定积分10xedx.46.计算定积分10arcsinxdx.47.求极限2222111lim122nnnnn.48.设()fx在[,]ab上连续,()()()xaFxftxtdt.求()Fx.49.求由椭球面2222221yxzabc所围立体的体积.450.求椭圆22221yxab所围的面积.51.求摆线(sin),(1cos)(0),02xattyatat的弧长.52.求平面曲线sin,0yxx绕x轴旋转一周所得旋转曲面的面积.53.讨论无穷积分20xxedx是否收敛?若收敛,则求其值.54.讨论无穷积分21(1)dxdxxx是否收敛?若收敛,则求其值.55.利用级数敛散性定义验证级数11(1)(2)nnnn是否收敛.若收敛,求其和数.56.判断级数111cosnn的敛散性.57.判断级数121nnnn的敛散性.58.判断级数121sinnnn是绝对收敛,条件收敛还是发散.59.判断级数1sin,(0,2)nnxxn是绝对收敛,条件收敛还是发散.60.判断函数项级数1)()1(nnnnnx在区间]1,0[上的一致收敛性.61.)(xfn221xnnx,x]1,0[.讨论函数列{)(xfn}的一致收敛性.62.函数列2212,0,211()22,,210,1.nnxxnfxnnxxnnxn,2,1n在]1,0[上是否一致收敛？63.)(xfn2222xnxen在R内是否一致收敛？564.函数列.11,0),,2,1(,121,22,210,2)(22xnnnxnxnnnxxnxfn在]1,0[上是否一致收敛？65.求幂级数74533234333231xxxx的收敛域.66.计算积分102dxeIx,精确到0001.0.67.把函数)(xf)5ln(x展开成)2(x的幂级数.68.求幂级数0!1nnxnn的和函数.69.展开函数xexxf)1()(.70.在指定区间内把下列函数展开成傅里叶级数,)(xxf（i）,x（ii）.20x71.设)(xf是以2为周期的分段连续函数,又设)(xf是奇函数且满足)()(xfxf.试求)(xf的Fourier系数nxdxxfbn2sin)(12的值，,2,1n.72.设)(xf以2为周期，在区间]2,0[内,fxxxx20202,,,,试求)(xf的Fourier级数展开式.73.设fxxxxxxx2200,,,求在],[内)(xf的以2为周期的Fourier级数展开式.74.设)(xf是以2为周期的连续函数,其Fourier系数为,,,0nnbaa,2,1n.试用,,,0nnbaa表示函数xxfxFcos)()(的Fourier系数75.试求极限.42lim)0,0(),(xyxyyx76.试求极限.)()cos(1lim222222)0,0(),(yxyxeyxyx677.试求极限.1sin1sin)(lim)0,0(),(yxyxyx78.试讨论.lim422)0,0(),(yxxyyx79.试求极限.11lim2222)0,0(),(yxyxyx80.),(xyyxfu,f有连续的偏导数，求.,yuxu81.,arctanxyz,xey求.dxdz82.求抛物面222yxz在点)3,1,1(M处的切平面方程与法线方程.83.求5362),(22yxyxyxyxf在)2,1(处的泰勒公式.84.求函数)2(),(22yyxeyxfx的极值.85.叙述隐函数的定义.86.叙述隐函数存在唯一性定理的内容.87.叙述隐函数可微性定理的内容.88.利用隐函数说明反函数的存在性及其导数.89.讨论笛卡儿叶形线0333axyyx所确定的隐函数)(xfy的一阶与二阶导数.90.讨论方程0),,(323zyxxyzzyxF在原点附近所确定的二元隐函数及其偏导数.91.设函数23(,,)fxyzxyz,方程2223xyzxyz.(1)验证在点0(1,1,1)P附近由上面的方程能确定可微的隐函数(,)yyzx和(,)zzxy;(2)试求(,(,),)xfxyxzz和(,,(,))xfxyzxy,以及它们在点)(xfy处的值.92.讨论方程组01),,,(,0),,,(222xyvuvuyxGyxvuvuyxF在点)2,1,1,2(0P近旁能确定怎样的隐函数组，并求其偏导数。93.设方程组722221,0.uvxyuvxy问在什么条件下,(1)由方程组可以唯一确定,uv是,xy的可微函数?(2)由方程组可以唯一确定,ux是,vy的可微函数?94.求球面50222zyx与锥面222zyx所截出的曲线的点)5,4,3(处的切线与法平面方程。95.求曲面3zezxy在点0(2,1,0)M处的切平面与法线方程.96.抛物面zyx22被平面1zyx截成一个椭圆.求这个椭圆到原点的最长与最短距离.97.叙述含参量x的正常积分定义.98.叙述含参量x的正常积分的连续性定理的内容.99.叙述含参量x的无穷限反常积分定义.100.叙述含参量x的无穷限反常积分的一致收敛性定义.101.叙述含参量x的无穷限反常积分的一致收敛的柯西收敛准则.102.叙述含参量反常积分一致收敛的狄利克雷判别法.103.叙述含参量反常积分一致收敛的阿贝尔判别法.104.叙述含参量反常积分的可积性定理内容.105.求).0(ln10abdxxxxIab106.计算积分101sinln(0,0)lnbaxxdxabxx.107.计算).,0(sinsin0abpdxxaxbxeIpx并由此计算00sinsin(),axxIadxIdxxx108.利用公式202xedx,计算20()cosxrerxdx.109.利用可微性计算关于参数a的含参量反常积分0sin()(0,0)kxkaxIaedxkax.并由此计算800sinsin(),axxIadxIdxxx110.计算Ldsy||，其中L为单位圆周122yx.111.计算Ldzxzdyzydxyx)()()(，其中L为从(0,0,0)到(1,2,3)的直线段.112.求积分34432,5254sinCBAxydxxyxydy,其中曲线,CAB与x轴围成的面积为S.113.求23321323413Cxyyxdxxxyxdy,其中2222:1xyCab.114.求全微分dzyzxdyxyzdxzxy)2()2()2(222的原函数.115.求,Dxydxdy其中D由2,yxyx围成.116.求222Vxyzdxdydz,其中V由222zxy,22220xyzRz所围成的有界闭区域.117.求2xyxyabab0,0ab与0y所围成区域D的面积.118.求22222sinDxydxdyab,其中D是22221xyab.119.求Vzdxdydz,其中V由222221,403zxyxyzz所围成的有界闭区域.120.求Szd,其中2222:0Sxyzahza.121.求Szdxdy,S是2222(0,0)xyzaxy,取球面的外侧为正侧.122.设()fu具有连续导数,求2222323312sin2Syzyyxdydzfydzdxfzdxdyzzyz.其中S为22222222222,,0yxzyxzayxzbab所围立体的表面的外侧.123.求3323111sincos2333xySxzdydzyxdzdxzedxdy,其中S是2222,,Vxyzxyza的表面,取外侧为正侧0a.124.计算积分SdxdyzxdzdxyzdydzxyI222，其中S是椭球面1222222czbyax的外侧.