数学分析课件 格林公式

返回后页前页§3格林公式·曲线积分与路线的无关性在计算定积分时,牛顿-莱布尼茨公式反映了区间上的定积分与其端点上的原函数值之间的联系;本节中的格林公式则反映了平面区域上的二重积分与其边界上的第二型曲线积分之间的联系.一、格林公式二、曲线积分与路线的无关性返回返回后页前页一、格林公式设区域D的边界L是由一条或几条光滑曲线所组成.边界曲线的正方向规定为:当人沿边界行走时,区域D总在它的左边,如图21-12所示.与上述规定的方向相反的方向称2112图LD.L为负方向,记为返回后页前页定理21.11若函数(,),(,)PxyQxy在闭区域D上有连续的一阶偏导数,则有ddd,LDQPPxQyxy(1)这里L为区域D的边界曲线,并取正方向.公式(1)称为格林公式.证根据区域D的不同形状,这里对以下三种情形(i)若D既是x型又是y型区域(图21-13),则可表为作出证明:返回后页前页12()(),,xyxaxb又可表为12()(),.yxyy1()yx2()yx这里和分CAE分别是曲线和CBE的方程.于是ACBAEB别为曲线和的方1()xy2()xy程,而和则Ox1()xAbEaBC2()xyD图21-13返回后页前页21()()dddyyDQQyxxx21((),)d((),)dQyyyQyyy(,)d(,)dCBECAEQxyyQxyy(,)d(,)dCBEEACQxyyQxyy(,)d.LQxyy同理又可证得返回后页前页d(,)d.LDPPxyxy将上述两个结果相加即得ddd.LDQPPxQyxy(ii)若区域D是由一条按段光滑的闭曲线围成,且可用几段光滑曲线将D分成有限个既是x型2114图3L1D2L1L3D2D返回后页前页又是y型的子区域(如图21-14),则可逐块按(i)得到它们的格林公式,然后相加即可.如图21-14所示的区域D,可将它分成三个既是x型又是y型的区域123,,.DDD于是dDQPxy123dddDDDQPQPQPxyxyxy返回后页前页123ddddddLLLPxQyPxQyPxQydd.LPxQy(iii)若区域D由几条闭曲线所围成,如图21-15所示.这把区域化为(ii)的情形来处2115图1LD3L2LCABEFG时可适当添加线段,,ABCE理.在图21-15中添加了,AB后,D的边界则由23,,,,,,ABLBAAFCCELECCE返回后页前页dDQPxy23(dd)ABLBAAFCCELECCGAPxQy231(dd)LLLPxQydd.LPxQy注1并非任何单连通区域都可分解为有限多个既是xy型又是型区域的并集,例如由及构成.由(ii)知CGA返回后页前页31sin,(0,1];1;0;1yxxyxxx所围成的区域便是如此.注2为便于记忆,格林公式(1)也可写成下述形式:ddd.LDxyPQPxQy注3应用格林公式可以简化某些曲线积分的计算.请看以下二例:返回后页前页第一象限部分(图21-16).解对半径为r的四分之一圆域D,应用格林公式:ddLDxyddd.OAABBOxyxyxy由于d0,d0,OABOxyxy因此21ddπ.4ABDxyr例1计算d,ABxy其中曲线是半径为r的圆在ABOx2116图BLADy返回后页前页例2计算22dd,LxyyxIxy其中L为任一不包含原点的闭区域的边界线.解因为2222222,()xyxxxyxy2222222,()yyxyxyxy它们在上述区域D上连续且相等,于是返回后页前页2222d0,Dxyxyxyxy所以由格林公式立即可得0.I在格林公式中,令,,PyQx则得到一个计算平面区域D的面积SD的公式:1ddd.2DLDSxyyx(2)返回后页前页例3计算抛物线2()(0)xyaxa与x轴所围图形的面积(图21-17).解曲线AMO由函数,[0,]yaxxxaONA0,y表示,为直线于是1dd2DSxyyxx2117图O(,0)AaNMy11dddd22ONAAMOxyyxxyyx返回后页前页1dd2AMOxyyx011()d22aaxaxxxax020111dd.2246aaaaxxxxa返回后页前页二、曲线积分与路线的无关性在第二十章§2中计算第二型曲线积分的开始两个例子中,读者可能已经看到,在例1中,以A为起点B为终点的曲线积分,若所沿的路线不同,则其积分值也不同,但在例2中的曲线积分值只与起点和终点有关,与路线的选取无关.本段将讨论曲线积分在什么条件下,它的值与所沿路线的选取无关.首先介绍单连通区域的概念.若对于平面区域D内任一封闭曲线,皆可不经过D返回后页前页以外的点而连续收缩于属于D的某一点,则称此平面区域为单连通区域;否则称为复连通区域.2118图1D4D3D2D1D2D3D4D在图21-18中,与是单连通区域,而与则是复连通区域.单连通区域也可以这样叙述:D内任一封闭曲线所围成的区域只含有D中的点.更通返回后页前页俗地说,单连通区域就是没有“洞”的区域,复连通区域则是有“洞”的区域.定理21.12设D是单连通闭区域.若函数(,),Pxy(,)Qxy在D内连续,且具有一阶连续偏导数,则以下四个条件两两等价:(i)沿D内任一按段光滑封闭曲线L,有dd0;LPxQy(ii)对D中任一按段光滑曲线L,曲线积分返回后页前页ddLPxQy与路线无关,只与L的起点及终点有关;ddPxQy(,)uxy(iii)是D内某一函数的全微分,即在D内有ddd;uPxQy(iv)在D内处处成立.PQyxARBASB证(i)(ii)如图21-19,设与为联结点A,B的任意两条按段光滑曲线,由(i)可推得ddddARBASBPxQyPxQy返回后页前页ddddARBBSAPxQyPxQydd0,ARBSAPxQy所以dddd.ARBASBPxQyPxQy2119图BARSOx2120图B0xADCxxx0yyy返回后页前页D内任意一点.由(ii),曲线积分ddABPxQy与路线的选择无关,故当(,)Bxy在D内变动时,其积分值是(,)Bxy的函数,即有(,)dd.ABuxyPxQy取x充分小,使(,),CxxyD则函数(,)uxy对于x的偏增量(图21-20)00(,)Axy(,)Bxy(ii)(iii)设为D内某一定点,为返回后页前页(,)(,)xuuxxyuxydddd.ACABPxQyPxQy因为在D内曲线积分与路线无关,所以dddddd.ACABBCPxQyPxQyPxQy因直线段BC平行于x轴,故d0y,从而由积分中值定理可得ddxBCuPxQy(,)d(,),xxxPtytPxxyx返回后页前页01.(,)Pxy其中根据在D上连续,于是有00limlim(,)(,).xxxuuPxxyPxyxx同理可证(,).uQxyy所以证得ddd.uPxQy(,),uxy(iii)(iv)设存在函数使得ddd,uPxQy因此(,)(,),(,)(,).xyPxyuxyQxyuxy于是由返回后页前页一点处都有(,)(,).xyyxPQuxyuxyyx即(iv)(i)设L为D内任一按段光滑封闭曲线,记L所围的区域为.由于D为单连通区域,所以区域含在D内.应用格林公式及在D内恒有PQyx的条件,就得到以及P,Q具有一阶连续偏导数,便可知道在D内每(,),(,),xyyxPQuxyuxyyx返回后页前页ddd0.LQPPxQyxy上面我们将四个条件循环推导了一遍,这就证明了它们是相互等价的.应用定理21.12中的条件(iv)考察第二十章§2中的例1与例2.在例1中(,),(,).PxyxyQxyyx由于,1,,PQPQxyxyx故积分与路线有关.在例2中(,),(,),PxyyQxyx由于返回后页前页1,PQyx所以积分与路线无关.例4计算220.5d0.5d,0.5Lxyxxyyxy其中到点D(0,1)的路径(见图21-21).分析如果第二型曲线积分在某单连通区域内满足与路径无关的条件,则可改变积分路径,使易于计算.L为沿着右半圆周221(0)xyx由点A(0,-1)返回后页前页解记220.5(,),0.5xyPxyxy22222(0.5)2(0.5).[(0.5)]QPxyyxxyxy220.5(,).0.5xyQxyxy易知除去点E(0.5,0)外,处处满足1L(0,1)A(1,1),B(1,1),C设为由点到点再到点最图21-21xyO(0,1)A(1,1)B(1,1)C(0,1)D1L2LLE返回后页前页220.5d0.5d0.5Lxyxxyyxy1(,)d(,)dLPxyxQxyy(,)d(,)dABBCCDPxyxQxyy1LL因为与(0,1)D的折线段.后到点可被包含在某一不含奇点E的单连通区域内,所以有1102220110.50.51.5ddd(0.5)10.25(0.5)1xyxxyxxyx返回后页前页4arctan0.52arctan2.注1定理21.12中对“单连通区域”的要求是重要何不包含原点的单连通区域,已证得在这个区域内的任何封闭曲线L上,皆有22dd0.Lxyyxxy(3)的.如本例若取沿y轴由点A到点D的路径,虽2L然算起来很简单,但却不可用.因为任何包含2LL与的单连通区域必定含有奇点E.又如本节例2,对任返回后页前页2222(,),(,)yxPxyQxyxyxy只在剔除原点外的任何区域D上有定义,所以L必含在某个复连通区域内.这时它不满足定理21.12的条件,因而就不能保证(3)式成立.事实上,若取L为绕原点一周的圆:cos,sin(02π),Lxaya则有倘若L为绕原点一周的封闭曲线,则函数返回后页前页注2若(,),(,)PxyQxy满足定理21.12的条件,则由上述证明可看到二元函数(,)(,)d(,)dABuxyPxyxQxyy00(,)(,)(,)d(,)dBxyAxyPxyxQxyy具有性质d(,)(,)d(,)d.uxyPxyxQxyy22222222200ddcossindd2.Lxyyxaaxya返回后页前页例5试应用曲线积分求(2sin)d(cos)dxyxxyy的原函数.解这里(,)2sin,(,)cos,PxyxyQxyxy在整个平面上成立cos.PQyyx由定理21.12,曲线积分我们也称(,)uxy为ddPxQy的一个原函数.(2sin)d(cos)dABxyxxyy返回后页前页为此,取(0,0),(,),OBxy取路