工科概率统计5

概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第五章、大数定律与中心极限定理第五章大数定律与中心极限定理一、大数定律二、中心极限定理概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第五章、大数定律与中心极限定理本章要解决的问题1.为何能以某事件发生的频率作为该事件的概率的估计？2.为何能以样本均值作为总体期望的估计？3.为何正态分布在概率论中占有极其重要的地位？4.大样本统计推断的理论基础是什么？答复大数定律中心极限定理概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第五章、大数定律与中心极限定理一、大数定律1、贝努里（Bernoulli）大数定律设nA是n次独立重复试验中事件A发生的次数,p是每次试验中A发生的概率,则0有0limpnnPAn或1limpnnPAn大数定律概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第五章、大数定律与中心极限定理证引入r.v.序列{Xk}发生次试验第发生次试验第AkAkXk,0,1设,)1(pXPk则pqXDpXEkk)(,)(nXXX,,,21相互独立，nkkAXn1记,11nkknXnYnpqYDpYEnn)(,)(由Chebyshev不等式概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第五章、大数定律与中心极限定理pnnPA0故0limpnnPAn)(nnYEYPnpq21)(1knkkXEnXP概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第五章、大数定律与中心极限定理nnA频率与p有较大偏差pnnA是小概率事件,因而在n足够大时,可以用频率近似代替p.这种稳定称为依概率稳定.贝努里(Bernoulli)大数定律的意义在概率的统计定义中,事件A发生的频率“稳定于”事件A在一次试验中发生的概率是指：nnA概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第五章、大数定律与中心极限定理定义a是一常数，0limaYPnn(或)1limaYPnn依概率则称r.v.序列,,,,21nYYY收敛于常数a,记作aYnPn故pnnnPA,,,,21nYYY是一系列r.v.设0有若概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第五章、大数定律与中心极限定理在Bernoulli定理的证明过程中，Yn是相互独立的服从(0,1)分布的r.v.序列{Xk}的算术平均值,Yn依概率收敛于其数学期望p.结果同样适用于服从其它分布的独立r.v.序列概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第五章、大数定律与中心极限定理Chebyshev大数定律,,,,21nXXX相互独立，设r.v.序列(指任意给定n1,相互独立)且具有相同的数学期望和方差nXXX,,,21,2,1,)(,)(2kXDXEkk则0有01lim1nkknXnP或11lim1nkknXnP概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第五章、大数定律与中心极限定理定理的意义当n足够大时,算术平均值几乎是一常数.具有相同数学期望和方差的独立r.v.序列的算术平均值依概率收敛于数学期望.算术均值数学期望近似代替可被概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第五章、大数定律与中心极限定理注2,,,,21nXXX相互独立的条件可以去掉，代之以0112nnkkXDn注1,,,,21nXXX不一定有相同的数学期望与方差，可设,2,1,)(,)(22kXDXEkkkk有011lim11nkknkknnXnP概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第五章、大数定律与中心极限定理,,,,21nXXX相设r.v.序列,2,1,)(iXEkki则0有01lim1knikinXnP互独立具有相同的分布，且记knikiMXn11注3概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第五章、大数定律与中心极限定理11nPM),,,(21kMMMgnP),,,(21kg则则22nPMknPkM),,,(21kxxxg连续，若概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第五章、大数定律与中心极限定理§5.2二、中心极限定理定理一林德伯格-列维中心极限定理[独立同分布的中心极限定理](Lindberg-levi)定理二棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理[二项分布以正态分布为极限分布](DeMoivre-Laplace)概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第五章、大数定律与中心极限定理独立同分布的中心极限定理定理1设随机变量序列,,,,21nXXX独立同一分布,且有期望和方差：,2,1,0)(,)(2kXDXEkk则对于任意实数x,xtnkkndtexnnXP21221lim)(x概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第五章、大数定律与中心极限定理注则Yn为nkkX1的标准化随机变量.)(limxxYPnn即n足够大时，Yn的分布函数近似于标准正态随机变量的分布函数nnXYnkkn1记)1,0(~NYn近似nkkX1nYnn),(2nnN近似服从概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第五章、大数定律与中心极限定理中心极限定理的意义在第二章曾讲过有许多随机现象服从正态分布若联系于此随机现象的随机变量为X，是由于许多彼次没有什么相依关系、对随机现象谁也不能起突出影响，而均匀地起到微小作用的随机因素共同作用则它可被看成为许多相互独立的起微小作kkX用的因素Xk的总和，而这个总和服从或近似服从正态分布.(即这些因素的叠加)的结果.概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第五章、大数定律与中心极限定理对此现象还可举个有趣的例子——高尔顿钉板试验——加以说明.303),0(nNn—钉子层数高尔顿钉板概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第五章、大数定律与中心极限定理德莫佛—拉普拉斯中心极限定理（DeMoivre-Laplace）设Yn~B(n,p),0p1,n=1,2,…则对任一实数x，有xtnndtexpnpnpYP2221)1(lim即对任意的ab,batnndtebpnpnpYaP2221)1(limYn~N(np,np(1-p))(近似)定理2概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第五章、大数定律与中心极限定理例3售报员在报摊上卖报,已知每个过路人在报摊上买报的概率为1/3.令X是出售了100份报时过路人的数目，求P(280X320).解令Xi为售出了第i–1份报纸后到售出第i份报纸时的过路人数,i=1,2,…,100,2,1,1)(3/11kppkXPpki(几何分布)61)(,31)(3/123/1pipippXDpXE应用2概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第五章、大数定律与中心极限定理1001kkXX10021,,,XXX相互独立,600)(,300)(XDXE)()600,300(~近似NX600300280600300320)320280(XP160020218165.025878.0由独立同分布中心极限定理,有概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第五章、大数定律与中心极限定理应用1例4炮火轰击敌方防御工事100次,每次轰击命中的炮弹数服从同一分布,其数学期望为2,均方差为1.5.若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的,求100次轰击(1)至少命中180发炮弹的概率;(2)命中的炮弹数不到200发的概率.概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第五章、大数定律与中心极限定理解设Xk表示第k次轰击命中的炮弹数100,,2,1,5.1)(,2)(2kXDXEkk10021,,,XXX相互独立，设X表示100次轰击命中的炮弹数,则,225)(,200)(,1001XDXEXXkk)225,200(~NX近似由独立同分布中心极限定理,有概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第五章、大数定律与中心极限定理(1)152001801)180(XP(2)15200015200200)2000(XP91.0)3.1()3.1(15.0)33.13()0(概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第五章、大数定律与中心极限定理例5检验员逐个检查某产品,每查一个需用10秒钟.但有的产品需重复检查一次，再用去10秒钟.若产品需重复检查的概率为0.5,求检验员在8小时内检查的产品多于1900个的概率.解若在8小时内检查的产品多于1900个,即检查1900个产品所用的时间小于8小时.设X为检查1900个产品所用的时间(秒)设Xk为检查第k个产品所用的时间(单位：秒),k=1,2,…,1900应用3概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第五章、大数定律与中心极限定理XkP10200.50.525)(,15)(kkXDXE19001kkXX190021,,,XXX相互独立同分布,47500251900)(28500151900)(XDXE)47500,28500(~NX近似概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第五章、大数定律与中心极限定理)2880019000()83600190010(XpXP589.43376.19162.0475002850019000475002850028800概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第五章、大数定律与中心极限定理例6某车间有200台车床，每台独立工作，开工率为0.6.开工时每台耗电量为r千瓦.问供电所至少要供给这个车间多少电力,才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？解设至少要供给这个车间a千瓦的电力，X为开工的车床数,则X~B(200,0.6),X~N(120,48)(近似)应用4由德莫佛—拉普拉斯中心极限定理,有概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第五章、大数定律与中心极限定理48120048120/)0(raarXP0)32.17(48120/ra问题转化为求a,使%9.99)0(arXP反查标准正态函数分布表，得%9.9909.3概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第五章、大数定律与中心极限定理令09.348120ra解得rra141)1204809.3((千瓦)概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第五章、大数定律与中心极限定理例7设有一批种子，其中良种占1/6.试估计在任选的6000粒种子中，良种比例与1/6比较上下不超过1%的概率.解设X表示6000粒种子中的良种数,X~B(6000,1/6)应用565000,1000~NX近似由德莫佛—拉普拉斯中心极限定理,则有概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第五章、大数定律与中心极限定理6500010009406500010001060