d2_1数列的极限与函数的极限

1微积分I教师：陈新宏单位：数学与计算科学学院2第二章极限与连续1、数列极限2、函数极限3、极限的性质与运算法则4、极限存在准则及两个重要极限5、无穷小的比较与应用6、函数的连续性3一、极限的引入41、刘徽的割圆术割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣。刘徽我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法----割圆术（参看光盘演示）,就是极限思想在几何学上的应用.52、古希腊阿基里斯悖论公元前400多年，古希腊的芝诺提出的，若阿基里斯让乌龟几步，则阿基里斯永远也追不上乌龟的悖论6极限思想是由于求某些实际问题的精确解答而产生的.极限是研究变量的变化趋势的基本工具，高等数学中许多基本概念，例如连续、导数、定积分、无穷级数等都是建立在极限的基础上.极限方法又是研究函数的一种最基本的方法.本节将首先给出数列极限的定义.7二、数列的极限81、数列极限的定义(1)数列:无穷多个按顺序排列的数,x,,x,xn21例如....x1x3xnx200当n无限增大时,nx无限接近常数A,.Axlimnn11limnn即01limnn即,1,,31,21,1)1(n,1,,31,21,1)2(n,1,41,31,21,1)3(nn001limnnn即91011limnnn即021limnn即,1,,43,32,21)4(nn,21,,81,41,21)5(n,12,,5,3,1)6(n,1,,1,1,1,1)7(1n12limnn即或者说，不存在极限不存在10nnnn12lim例1.求极限nnn12lim解：原式=211nnn、nnnn、nnn２、nn、nnnnn21lim421lim31314lim316lim122222求极限求极限求极限求极限2342123练习一下12数列极限的定义:（定义1.1)总存在正整数N,当nN时，恒有|Ax|n,Axlimnn记作:定义：N,0N（自然数）,当Nn时，恒有Axn成立,Axlimnn则或称数列}{nxA收敛于数否则,称数列是发散的..nAxn或设有数列，若存在常数A，使对于任意给定的正数nx成立,则称当时，数列}{nx以A为极限。n13….…...…....….….1x2x3xx2....1NxAAA2Nx3Nx数列极限的几何解释:AxAn(1)定义中的是任意给定的.用来刻划“无限接近于数”.nxA(2)正整数N与有关,它是随的给定而确定.且不唯一.注意Axn有当,Nn,0,N只有有限项(最多N项)落在邻域之外.,,,,,321nNNNxxxx,A,A内都落在N以后所有项:,0N,当Nn时，恒有Axn成立,Axlimnn则14,00lim11nn例2.证明证11110nn要使只要11n即可取1N,则当Nn时,011n成立,所以,0lim11nn,0N,当Nn时，恒有Axn成立,（不作要求）15例如,数列,nn,,,,,,).(165544332211取奇数项:,kk,,,,212654321取偶数项:,kk,,,,122765432都是(1)的子数列.,)(,,,,,,).(n11111112又如,取奇数项:取偶数项:,,,,,1111,,,,1112、子数列及其敛散性都是(2)的子数列.1111-1在数列}{nx中任意抽取无限多项，先后次序，称为原数列}{nx的一个子数列.并保持这些项在原数列中的这样得到的一个数列，。记为子数列knx?163、收敛数列与其子数列的关系(1).逆命题不成立.子数列收敛的数列未必收敛.(2).逆否命题成立.子数列发散的数列一定发散.,则它的任一子数列也收敛于Anx收敛于A如果数列注意结论17充要条件之一12limnnxAxnn2limAxnnlim18,lim:12Axnn若推论,Bxlimnn2不存在。则nnxlimBA,,,,,61041021例如,数列例如,数列,,,,,6504302119nnnnxnnnnxlim,,1,1求为偶数为奇数已知练习一下204、收敛数列的性质定理1.1nx若数列收敛,,Axlimnn且则极限值A唯一.极限的唯一性定理1.2nx若数列收敛,nx则数列必有界.收敛数列的有界性注意(1).定理1.3的逆命题不成立.有界数列,未必收敛.(2).定理1.3的逆否命题成立.无界数列必发散.,)1(1nnx有界但发散.例如,数列12nxn无界,故发散.21提高题目例3设，求2,11,,211nxxxnnnnxlim22三、函数的极限1、当时,函数的极限x)x(f01xxx注意：23x)(xf1、时函数的极限对函数，当无限增大时，函数值无限地趋近于常数A，则称当时，函数以A为极限。)x(fx)x(fy)x(fx对于任意给定的正数,总存在正数M,|A)x(f|则称当时，函数以A为极限。)x(fx,A)x(flimx.xA)x(f记作:当|x|M时，恒有注意(1).定义中是任意给定的.用来刻化A的接近程度)x(f(2).正数M与有关,它是随的给定而确定.用来刻化|x|充分大的程度定义2.124几何解释M|x|A)x(fAxyoAAyAyM-M当M|x|时，Axfx)(lim则|)(|Axf恒有成立，,0,M0Mx,Mx|A)x(f|“-M语言”定义25例4．用定义证明：.01limxx证：,0要使||101xx只需,1||x取1M当M|x|时，有01x所以.01limxx问题?xeyx时的极限如何当?xxy时的极限如何当1当M|x|时，|)(|Axf恒有成立，,0,M026x)(xf2、时,函数的极限对函数，当取正值且无限增大时，函数值无限趋近于常数A,则称当时，函数以A为极限。)x(fx)x(fy)x(fx,A)x(flimx.xA)x(f记作:定义2.2对于任意给定的正数,总存在正数M,|A)x(f|当xM时，恒有则称当时，函数以A为极限。)x(fx27x)(xf3、时,函数的极限,A)x(flimx.xA)x(f记作:定义2.3对于任意给定的正数,总存在正数M,|A)x(f|当x－M时，恒有则称当时，函数以A为极限。)x(fx对函数，当取负值且无限增大时，函数无限趋近于常数A,则称当时，函数以A为极限。)x(fx)x(fy)x(fxx28)x(flimxA)x(flimxA)x(flimx充要条件之二29例5xxelim,xxelim0xxelim不存在．xyoxexxelim:求30例6.设1,521,21)(xxxxxf求)x(flimx解：)x(flimx52xxlimx21)x(flimx21)x(flimx2131xf，xxxxxf、xxxlim110075221求极限已知例32xx、xxarctanlimarctanlim1与求极限xqxpx、xlim2求极限练习一下331）了解极限的思想方法要求2）会求基本的极限两条经验1).求趋于无穷的极限，根本思想是除2).别忘了，还有两个充要条件342081213123limxxxx想一想下面的极限等于几?