2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件：5.2 平面向量基本定理及坐标运算(共29张PP

§5.2平面向量基本定理及坐标运算本节目录教材回顾夯实双基考点探究讲练互动考向瞭望把脉高考知能演练轻松闯关目录教材回顾夯实双基基础梳理1．平面向量的基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个_________向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中_______的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组_______．不共线不共线基底目录2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y使得a＝xi＋yj，我们把(x，y)叫做向量a的直角坐标，记作a＝________．其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，(x，y)叫做向量a的坐标表示．与a相等的向量的坐标也为(x，y)．显然i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．(x，y)目录3．平面向量的坐标运算(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．则a＋b＝____________________，a－b＝_____________________．(2)已知a＝(x，y)和实数λ，那么λa＝_________．(3)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)．则a∥b的充要条件是____________＝0.(4)若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.(5)若点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则MN→＝(x2－x1，y2－y1)．(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx，λy)x1y2－x2y1目录思考探究1．向量的坐标与点的坐标有什么区别与联系？提示：向量的坐标是用有向线段的起点和终点的坐标来计算的，即终点的坐标减起点的同名坐标，当起点在坐标原点时，终点的坐标就是该向量的坐标．提示：不能，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.同时，a∥b的充要条件也不能错记为：x1x2－y1y2＝0，x1y1－x2y2＝0等．2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件能表示成x1x2＝y1y2吗？目录课前热身1．(2011·高考广东卷)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝()A.14B.12C．1D．2解析：选B.a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，而c＝(3,4)，由(a＋λb)∥c得4(1＋λ)－6＝0，解得λ＝12.目录2．(2012·高考广东卷)若向量AB→＝(1,2)，BC→＝(3,4)，则AC→＝()A．(4,6)B．(－4，－6)C．(－2，－2)D．(2,2)解析：选A.AC→＝AB→＋BC→＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)，故选A.目录3．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且BC→＝2AD→，则顶点D的坐标为()A．(2，72)B．(2，－12)C．(3,2)D．(1,3)答案：A目录4．在△ABC中，AB→＝a，BC→＝b，若O为△ABC的重心，则BO→＝________(用a、b表示)．答案：13(b－a)目录5．下列各组向量中：①e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)；②e1＝(3,5)，e2＝(6,10)；③e1＝(2，－3)，e2＝(12，－34)，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是________．答案：①目录考点探究讲练互动考点突破考点1平面向量基本定理平面向量基本定理是用已知向量来表示未知向量的理论依据．实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或进行数乘运算．目录例1如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知AM→＝c，AN→＝d，试用c，d表示AB→，AD→.【思路分析】分别在△ADM和△ABN中，利用三角形法则AM→＝AD→＋DM→，AN→＝AB→＋BN→.目录【解】法一：设AB→＝a，AD→＝b，则a＝AN→＋NB→＝d＋(－12b)，①b＝AM→＋MD→＝c＋(－12a)，②将②代入①得a＝d＋(－12)[c＋(－12a)]⇒a＝43d－23c，代入②得b＝c＋(－12)(43d－23c)＝43c－23d.即AB→＝43d－23c，AD→＝43c－23d.目录法二：设AB→＝a，AD→＝b，因M，N分别为CD，BC的中点，所以BN→＝12b，DM→＝12a，因而c＝b＋12a，d＝a＋12b，⇒a＝232d－c，b＝232c－d，即AB→＝43d－23c，AD→＝43c－23d.【名师点评】本题构造了向量方程组通过解方程组求得AB→，AD→的表达式．目录考点2平面向量的坐标运算向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用．目录已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n.例2【思路分析】首先利用点的坐标求出向量坐标，再按坐标运算法则求向量坐标．目录【解】a＝AB→＝(3，－1)－(－2,4)＝(5，－5)；b＝BC→＝(－3，－4)－(3，－1)＝(－6，－3)；c＝CA→＝(－2,4)－(－3，－4)＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，∴－6m＋n＝5，－3m＋8n＝－5，解得m＝－1，n＝－1.目录【思维总结】向量加减法的坐标运算就是向量在x轴上的相应坐标、在y轴上的相应坐标之间的加减运算，是向量的代数运算形式．目录跟踪训练1．(2011·高考重庆卷)已知向量a＝()1，k，b＝()2，2，且a＋b与a共线，那么a·b的值为()A．1B．2C．3D．4解析：选D.a＋b＝()1，k＋()2，2＝()3，k＋2.∵a＋b与a共线，∴k＋2－3k＝0，解得k＝1.∴a·b＝()1，1·()2，2＝4.目录考点3向量共线的坐标运算向量共线的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法,也为点共线、线平行问题的处理提供了容易操作的方法.目录例3平面内三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，若d满足(d－c)∥(a＋b)且d的起点为坐标原点，求d终点的轨迹方程．【思路分析】设d＝(x，y)，用坐标表示d－c和a＋b，根据向量共线关系寻求x、y的关系式．目录【解】设d＝(x，y)，∴d－c＝(x，y)－(4,1)＝(x－4，y－1)．而a＋b＝(3,2)＋(－1,2)＝(2,4)．又∵(d－c)∥(a＋b)．∴x－42＝y－14.∴2x－y－7＝0，即为d终点的轨迹方程．【思维总结】向量共线，主要是依据“相等向量的坐标相同”这一原则建立关系式．目录跟踪训练2．在本例的基础上，若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.解：∵a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，又∵(a＋kc)∥(2b－a)，∴2×(3＋4k)－(－5)(2＋k)＝0，∴k＝－1613.目录方法技巧1．在一个复杂的几何图形中恰当地选择两个不共线向量来表示其他向量，然后进行运算是解决向量问题的基本方法．2．利用向量的坐标运算解题，主要是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解．3．如果已知两向量共线，求某些参数的取值，则利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是：x1y2－x2y1＝0”比较简捷．方法感悟目录失误防范1．形同意不同：要区分点的坐标与向量的坐标的区别，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量的坐标中同样有方向与大小的信息．2．a∥b的充要条件有两种表达形式：(1)a∥b(b≠0)⇔a＝λb(λ∈R)；(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.两种充要条件的表达形式不同，第(1)种是用线性关系的形式表示的，而且有前提条件b≠0.而第(2)种是用坐标形式表示的，且没有b≠0的限制．3．由于基底向量不共线，所以0不能作为一个基底向量．目录考向瞭望把脉高考命题预测近两年的高考试题，用坐标表示的平面向量的线性运算成为高考的热点,尤其是对向量共线的充要条件及平面向量的基本定理的考查,试题多以选择题,填空题的形式出现,属容易题，命题者意在此突出考查学生基础及数形结合思想的运用．在2011年的高考中,北京卷考查了向量减法及坐标运算,2012年的高考中,广东卷、安徽卷、重庆卷均考查了向量的坐标运算.预测2014年的高考中,这部分若是单独考查仍以填空题或选择题的形式出现,属于基本计算,知识集中于基本定理及线性运算.目录典例透析例(2011·高考北京卷)已知向量a＝(3，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，3)．若a－2b与c共线，则k＝________.【解析】a－2b＝(3，1)－2(0，－1)＝(3，3)，又∵a－2b与c共线，∴a－2b∥c，∴3×3－3×k＝0，解得k＝1.【答案】1目录【名师点评】本题考查向量的坐标运算，考查学生的转化、化归能力与运算求解能力，难度较小．