附录截面的几何性质

截面的几何性质附录§1-1静矩和形心§1-2惯性矩和惯性积§1-3惯性矩和惯性积的平行移轴公式,主轴和主惯性矩§1-4组合截面惯性矩的计算oxy§1-1截面的静矩和形心位置一,定义dAxy截面对y,x轴的静矩为：AyxdASAxydAS静矩可正，可负，也可能等于零。AAxdAxSyACAAydAySxACxACSyyACSx其计算公式为：oxydAxyyCxCc(yC,xC)为截面形心C的坐标（2）截面对形心轴的静矩等于零。（1）若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心。xACSyyACSxdAxycoxyyCxC二,组合截面由几个简单图形组成的截面称为组合截面截面对某一轴的静矩，等于该截面各组成部分对于同一轴静矩的代数和。12Ai——第i个简单截面面积——第i个简单截面的形心坐标)(yxii组合截面静矩的计算公式为xASiniiy1niiixyAS1xAii第i个简单截面对y轴的静矩yAii第i个简单截面对x轴的静矩计算组合截面形心坐标的公式如下：niiniiiAxAx11niiniiiAyAy111010o8012yx例题：试确定图示截面心C的位置。取x轴和y轴分别与截面的底边和左边缘重合。将截面分为1，2两个矩形。解：1010o80AAxAxAAxAxniiniii21221111AAyAyAy21221112yxx2y2x1y1矩形1mmA21120012010mmx51mmy601矩形2mmA227007010mmx45270102mmy521010o8012yxx2y2x1y1AAxAxAx212211AAyAyAy212211所以mmAAxAxAx20212211mmAAyAyAy402122111010o80yx4020例题：确定截面形心的位置。ABCDabcd140086016161650430zCABCDabcd140086016161650430zC以底边DC为参考坐标轴y把截面看作由矩形ABCD减去矩形abcd。以ABCD的面积为A1以abcd的面积为A2yABCDabcd140086016161650430zCyAAzAzAz212211ABCDabcd140086016161650430zCyAAzAzAz212211mA204.186.04.121mz7.01mA105.1)016.005.04.1()032.086.0(22mz717.005.0)016.005.04.1(212ABCDabcd140086016161650430zCyAAzAzAz212211mA204.121mz7.01mA105.122mz717.02mz51.0105.1204.1717.0105.17.0204.1zyC§1—2极惯性矩惯性矩惯性积xyodA1，截面对o点的极惯性矩为一，定义dAIAP2xyodAxy2，截面对x,y轴的惯性矩dAyIAx2dAxIAy2xyodAxyI=Ix+Iy所以yx222dAyIAx2dAxIAy2dAIAP2xyodAxyxydAIAxy3，截面对x,y轴的惯性积dAyIAx2dAxIAy2（2）惯性积则可能为正值，负值，也可能等于零xydAIAxy（1）极惯性矩，惯性矩的数值恒为正；dAIAP2yxdAdAxydAIAxydxdxyy（3）若x,y两坐标轴中有一个为截面的对称轴，则截面对x,y轴的惯性积一定等于零。矩形截面，圆形截面，工字形截面，梯形截面等对包含对称轴的一对坐标轴的惯性积一定等于零。AIiyy（4）截面对x,y轴的惯性半俓为AIixxbhxyC例题：求矩形截面对其对称轴x,y轴的惯性矩。dA=bdy解：bhxyCydy1232222bhdybydAyIhhAxdAyIAx2123hbIy例题：求圆形截面对其对称轴的惯性矩。yx所以644dIIyxπ324dIPIIIyxIIyx解：截面对其圆心O的极惯性矩为yxo例题：求空心圆截面对其对称轴的惯性矩。yxDyxD)1(64)(644444DdDIIyxDdxyo一，平行移轴公式§1—3平行移轴公式.主轴和主惯性矩xyoba（a,b)_____形心c在xoy坐标系下的坐标。x,y——任意一对坐标轴C——截面形心CxyobaCxc,yc——过截面的形心C且与x,y轴平行的坐标轴（形心轴）xCyCxyobaCxCyCIx,Iy,Ixy_____截面对x,y轴的惯性矩和惯性积。Ixc,Iyc,Ixcyc——截面对形心轴xc,yc的惯性矩和惯性积。xyobaCxCyC已知截面对形心轴xC，yC的惯性矩和惯性积求截面对与形心轴平行的x，y轴惯性矩和惯性积xyobaCxCyCAaIIxcx2AbIIycy2abAIIyxccxy则平行移轴公式为二，组合截面的惯性矩惯性积Ixi,Iyi,Ixyi——第i个简单截面对x,y轴的惯性矩、惯性积。nixixII1niyiyII1nixyixyII1组合截面的惯性矩，惯性积例题：求图中所示梯形截面对于形心轴z的惯性矩。20208080解：将该截面分为两个矩形截面z35651220208080z356512mIz48231103.105])1035()2080(122080[mIz48232103.185])4065()8020(128020[20208080z356512mIIIzzz4821106.290201401002021截面的形心必在对称轴zc上。取过矩形2的形心且平行于底边的轴作为参考轴记作y轴。yCzCy例题:试求图示图形对z1和z2轴的惯性矩Iz1和Iz2。z2RRzz1z034RycCz2RRzz1z034Ryc解：半圆形的形心轴为z0如图34RyCz2RRzz1z034Ryc半圆形对z轴的惯性矩为64214DIzz2RRzz1z034RycyAIIczz20yAIICzz2064214DIzz2RRzz1z034Ryc3485)(44201RRyRAIICzzyAIICzz2064214DIz34RyC3485)(44202RRyRAIICzz例题：求对工字形截面形心轴的惯性矩性。z123z123（1）加法IIIIzzzz321（2）减法IIIIzzzz321zyh/2h/2h1/2h1/2b/2b/2b1/2b1/2例题：求对形心轴z的惯性矩。zyh/2h/2h1/2h1/2b/2b/2b1/2b1/212121133hbbhIz二，主惯性轴和主惯性矩若截面对某一直角坐标轴的惯性积等于零，则该直角坐标轴称为主惯性轴。（主轴）截面对主轴的惯性矩称为主惯性矩当主轴通过截面形心时，称为形心主轴截面对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩具有对称轴的截面，其对称轴就是形心主轴