积分的对称性

四川大学数学学院徐小湛[e-mail]积分的对称性1积分的对称性四川大学数学学院徐小湛[e-mail]积分的对称性2利用对称性计算积分（包括定积分、重积分、曲线积分和曲面积分）利用积分区域的某种对称性和被积函数的某种奇偶性计算和化简积分是积分计算的重要方法和技巧。本课件有关命题及详细证明。四川大学数学学院徐小湛[e-mail]积分的对称性3利用积分区间的对称性和被积函数的奇偶性计算定积分四川大学数学学院徐小湛[e-mail]积分的对称性4命题100,()()2(),()aaafxfxdxfxdxfx当是奇函数当是偶函数证0000()()()()=======()===xtaaaafxdxftdtftdtfxdx换元交换积分变量四川大学数学学院徐小湛[e-mail]积分的对称性5若f(x)是奇函数:f(-x)=-f(x)0000()()()()()0aaaaaafxdxfxdxfxdxfxdxfxdx则所以若f(x)是偶函数:f(-x)=f(x)00000()()()()()2()aaaaaaafxdxfxdxfxdxfxdxfxdxfxdx则所以四川大学数学学院徐小湛[e-mail]积分的对称性6利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性计算二重积分四川大学数学学院徐小湛[e-mail]积分的对称性7(,)Dfxydxdy命题2若区域D关于y轴(x=0)对称，则当f(x,y)关于x为奇函数当f(x,y)关于x为偶函数012(,)Dfxydxdy(,)(,)fxyfxy(,)(,)fxyfxyf(x,y)关于x为奇函数：f(x,y)关于x为偶函数：1{(,)|0}DxyDxD1D四川大学数学学院徐小湛[e-mail]积分的对称性8证不妨假定D的右半部分D1为X型区域：1:,()()Daxbxyx由D关于y轴的对称性，D的左半部分D2为：2:,()()Dbxaxyx2()()()()()()()()(,)[(,)][(,)]()[(,)]====[(,)]===axbxDxtatbtbtbxataxfxydxdyfxydydxftydydtftydydtfxydydx换元交换变量则四川大学数学学院徐小湛[e-mail]积分的对称性9(,)(,)fxyfxy若2112()()(,)[(,)](,)(,)(,)(,)0bxaxDDDDDfxydxdyfxydydxfxydxdyfxydxdyfxydxdyfxydxdy则所以四川大学数学学院徐小湛[e-mail]积分的对称性10(,)(,)fxyfxy若21121()()(,)[(,)](,)(,)(,)+(,)=2(,)bxaxDDDDDDfxydxdyfxydydxfxydxdyfxydxdyfxydxdyfxydxdyfxydxdy则所以四川大学数学学院徐小湛[e-mail]积分的对称性11(,)Dfxydxdy命题2’若区域D关于x轴(y=0)对称，则当f(x,y)关于y为奇函数当f(x,y)关于y为偶函数012(,)Dfxydxdy(,)(,)fxyfxy(,)(,)fxyfxyf(x,y)关于y为奇函数：f(x,y)关于y为偶函数：1{(,)|0}DxyDyD1D四川大学数学学院徐小湛[e-mail]积分的对称性12(,)Dfxydxdy推论1若D关于x轴和y轴都对称且f(x,y)关于x和y均为偶函数1{(,)|0,0}DxyDxy14(,)DfxydxdyD1D则四川大学数学学院徐小湛[e-mail]积分的对称性13命题3若D1是区域D关于直线y=x对称的区域，则1(,)(,)DDfdxdyfdxdyxxyyD1D四川大学数学学院徐小湛[e-mail]积分的对称性14证不妨假定D为X型区域：:,()()Daxbxyx则D1为Y型区域：1()()()()(,)[(,)][(,)](,)baDxybaxxyDyfdxdyfddfdyyyyxxxxdfdxdyxxyy交换积分变量,所以1:,()()Daybyxy四川大学数学学院徐小湛[e-mail]积分的对称性15推论1若D关于直线y=x对称，则(,)(,)DDfdyyxdyfdxdxxyD证设D1是D关于直线y=x对称的区域，则D1=D。用命题3即得。四川大学数学学院徐小湛[e-mail]积分的对称性161(,)2(,)DDfxydxdyfxydxdy推论2若区域D关于直线y=x对称且f(x,y)关于x和y对称：(,)(,)ffyyxx则D1{(,)|}DxyDxy其中1D四川大学数学学院徐小湛[e-mail]积分的对称性17证设2{(,)|}DxyDxy则D2与D1关于直线y=x对称，且12DDD由命题3211(,)(,)(,)DDDfdxdyfdxdyfdxdyxyxyyx121(,)=(,)+(,)2(,)DDDDfxydxdyfxydxdyfxydxdyfxydxdy所以四川大学数学学院徐小湛[e-mail]积分的对称性18利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性计算三重积分四川大学数学学院徐小湛[e-mail]积分的对称性19(,,)fxyzdv当f(x,y,z)关于z为奇函数当f(x,y,z)关于z为偶函数012(,,)fxyzdv(,,)(,,)zzfxyfxy(,,)(,,)fxyfxzyzf(x,y,z)关于z为奇函数：f(x,y,z)关于z为偶函数：1{(,,)|0}xyzz命题4若空间区域Ω关于xOy面(z=0)对称，则《高等数学学习手册》255页第一行四川大学数学学院徐小湛[e-mail]积分的对称性20证不妨假定Ω的上半部分Ω1为XY型区域：1{(,,)|(,),(,)(,)}xyzxyDxyzxy由Ω关于xOy坐标面的对称性，Ω的下半部分Ω2为：2{(,,)|(,),(,)(,)}xyzxyDxyzxy四川大学数学学院徐小湛[e-mail]积分的对称性212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,,)(,,)(,,)()(,,)=====(,,)===xyxyDztxyxyDxyxyDxyxyDfxyzdvdfxyzdzdfxytdtdfxytdtdfxyzdz换元改变变量则四川大学数学学院徐小湛[e-mail]积分的对称性22(,,)(,,)zyzfxyfx若2112(,)(,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)0xyxyDfxyzdvdfxyzdzfxyzdvfxyzdvfxyzdvfxyzdv则所以四川大学数学学院徐小湛[e-mail]积分的对称性23(,,)(,,)fxyfzxzy若21121(,)(,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)2(,,)xyxyDfxyzdvdfxyzdzfxyzdvfxyzdvfxyzdvfxyzdvfxyzdv则所以四川大学数学学院徐小湛[e-mail]积分的对称性24利用积分曲线的对称性和被积函数的奇偶性计算对弧长的曲线积分四川大学数学学院徐小湛[e-mail]积分的对称性25(,)Lfxyds命题5若曲线L关于y轴(x=0)对称，则当f(x,y)关于x为奇函数当f(x,y)关于x为偶函数012(,)Lfxyds(,)(,)fxyfxy(,)(,)fxyfxyf(x,y)关于x为奇函数：f(x,y)关于x为偶函数：1{(,)|0}LxyLxL1L四川大学数学学院徐小湛[e-mail]积分的对称性26证设L的右半部分L1由以下参数方程给出：1:(),(),Lxtytatb由L关于y轴的对称性，L的左半部分L2的参数方程为：22222(,)=((),())[()][()]=((),())[()][()]Lbabafxydsfttttdtfttttdt于是2:(),(),Lxtytatb四川大学数学学院徐小湛[e-mail]积分的对称性27(,)(,)fxyfxy若211222(,)((),())[()][()](,)(,)(,)(,)0LbaLLLLfxydsfttttdtfxydsfxydsfxydsfxyds则所以四川大学数学学院徐小湛[e-mail]积分的对称性28(,)(,)fxyfxy若2112122(,)((),())[()][()](,)(,)(,)(,)2(,)LbaLLLLLfxydsfttttdtfxydsfxydsfxydsfxydsfxyds则所以四川大学数学学院徐小湛[e-mail]积分的对称性29(,)Lfxyds命题5’若曲线L关于x轴(y=0)对称，则当f(x,y)关于y为奇函数当f(x,y)关于y为偶函数012(,)Lfxyds(,)(,)fxyfxy(,)(,)fxyfxyf(x,y)关于y为奇函数：f(x,y)关于y为偶函数：1{(,)|0}LxyLyL1L四川大学数学学院徐小湛[e-mail]积分的对称性30(,,)fxyzds当f(x,y,z)关于z为奇函数当f(x,y,z)关于z为偶函数012(,,)fxyzds(,,)(,,)zzfxyfxy(,,)(,,)fxyfxzyzf(x,y,z)关于z为奇函数：f(x,y,z)关于z为偶函数：1{(,,)|0}xyzz命题6若空间曲线Γ关于xOy面(z=0)对称，则四川大学数学学院徐小湛[e-mail]积分的对称性31证设Γ的上半部分Γ1由以下参数方程给出：1:(),(),(),xxtyytzztatb由Γ关于xOy面的对称性，Γ的左半部分Γ2的参数方程为：2222222(,,)=((),(),())[()][()][()]=((),(),())[(