排列与排列数公式

§2排列第一课时排列与排列数公式第一章计数原理学习导航第一章计数原理学习目标1.理解排列的意义，能正确写出一个排列问题的所有排列．(难点)2．掌握排列数公式，能用排列数公式进行求值和证明．(重点)栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理第一章计数原理学法指导1.排列的定义包含两个基本内容，一是“取出元素”,二是“按照一定的顺序排成一列”.注意理解不同顺序属于不同的排列，两个排列相同当且仅当两个排列的元素完全相同，两个排列的顺序也完全相同．2．排列是分步乘法计数原理的一个重要应用,学习中要理解排列数公式的推导过程，从中体会“化归”的数学思想.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理1.排列及排列问题(1)排列：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照___________排成一列，叫作从n个不同元素中任意取出m个元素的一个排列．(2)排列问题：把有关求___________的问题叫作排列问题．一定顺序排列的个数栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理2.排列数与排列数公式排列数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的___________________，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数排列数表示法Amn所有排列的个数栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理排列数公式乘积形式Amn＝________________________阶乘形式Amn＝______________________规定Ann＝n！；A0n＝______________；0！＝1n，m∈N＋且m≤nn·(n－1)·(n－2)·…·(n－m＋1)1n！（n－m）！栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理1．判断下列命题．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)ABC叫做从A，B，C，D中取出三个字母排成一排的一个排列数．()(2)A25表示从5个不同元素中取出(5－2)个元素的所有不同排列的个数．()(3)若Amn＝10×9×8×7×6，则n＝10，m＝5.()××√栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理2．下列选项中，不属于排列问题的是()A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案C．从3，5，7，9中任取两个数做指数运算，可以得到多少个幂D．从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点解析：选项A，C，D都与顺序有关，而选项B与顺序无关．B栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理3．乘积5×6×7×…×20等于()A．A1720B．A1620C．A1520D．A1420B解析：根据题意，由于乘积5×6×7×…×20表示的是从20到5的连续16个自然数的乘积，则可知表示的为A1620.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理4．方程A5x＋A4xA3x＝4的解x＝________．解析：A5x＋A4xA3x＝x（x－1）（x－2）（x－3）（x－4）＋x（x－1）（x－2）（x－3）x（x－1）（x－2）＝(x－3)(x－4)＋(x－3)＝x2－6x＋9＝4，所以x2－6x＋5＝0，解得x＝5或x＝1(舍)．5栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理排列的概念判断下列问题是否为排列问题．(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理[解](1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．(2)中植树和种菜是不同的，存在顺序问题,属于排列问题．(3)、(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长与当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)、(5)、(6)属于排列问题．栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理方法归纳判断一个具体问题是否为排列问题的方法栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理1.给出下列问题．(1)从0到9这十个数字中任取两个数，组成点的坐标，可得到多少个不同的点的坐标？(2)从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动．(3)从a，b，c，d四个字母中取出2个字母．(4)从a，b，c，d四个字母中取出2个字母，然后按顺序排成一列．其中是排列问题的序号是________．(1)(4)栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理解析：(1)是排列问题，因为取出的两个数不同，则点的坐标不同，与顺序有关，故是排列问题．(2)不是排列问题．因为取出的两名同学参加的活动与顺序无关．(3)不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关．(4)是排列问题，因为取出的两个字母还需要按顺序排成一列．栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理排列数的计算与化简(1)下列结论中正确的有________．①A55＝A666；②A55＝A33·A22；③A55＝A35·A53；④A55＝A25·A33.(2)计算：①A316＝________．②8！＋A66A28－A410＝________．①④3360－5130623栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理(链接教材P9例1)[解析](1)①右边＝6·A556＝A55＝左边．②左边＝5×4×3×2×1，右边＝3×2×1×2×1，所以左边≠右边．③右边A53是错误的．④右边＝5×4×3×2×1＝A55＝左边．栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理(2)①A316＝16×15×14＝3360.②8！＋A66A28－A410＝8×7×6×5×4×3×2×1＋6×5×4×3×2×18×7－10×9×8×7＝57×6×5×4×3×256×（－89）＝－5130623.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理方法归纳排列数公式的计算技巧(1)计算排列数时，要注意用公式后先提取公因式化简再计算．这样做往往会减少运算量．(2)连续正整数(因式)的乘积可以当成某个排列数，其中最大的数是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数．栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理2.计算A59＋A49A610－A510.解：A59＋A49A610－A510＝9×8×7×6×5＋9×8×7×610×9×8×7×6×5－10×9×8×7×6＝9×8×7×6×（5＋1）10×9×8×7×6×（5－1）＝320.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理有关排列数的证明(1)下列等式正确的个数为()①n！＝（n＋2）！（n＋1）（n＋2）；②n(n－1)(n－2)…(n－m)＝n！（n－m－1）！；③Amn＝n！（n－m－1）！.A．0B．1C．2D．3(2)证明：Amn＋1－Amn＝mAm－1n.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理[解](1)选C.①右边＝（n＋2）（n＋1）·n！（n＋1）（n＋2）＝n！＝左边，正确；②n！（n－m－1）！＝1×2×…×（n－m－1）×（n－m）×…×n1×2×…×（n－m－1）＝n×(n－1)×(n－2)×…×(n－m)，故②正确．③Amn＝n！（n－m－1）！显然错误，故选C.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理(2)证明：法一：因为Amn＋1－Amn＝（n＋1）！（n＋1－m）！－n！（n－m）！＝n！（n－m）！·n＋1n＋1－m－1＝n！（n－m）！·mn＋1－m＝m·n！（n＋1－m）！＝mAm－1n，所以Amn＋1－Amn＝mAm－1n.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理法二：Amn＋1表示从n＋1个元素中取出m个元素的排列个数，其中不含元素a1的有Amn个，含有a1的可这样进行排列：先排a1，有m种排法，再从另外n个元素中取出m－1个元素排在剩下的m－1个位置上，有Am－1n种排法，故含有a1的排法有mAm－1n种．所以Amn＋1－Amn＝mAm－1n.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理方法归纳有关排列数等式的证明技巧(1)准确掌握排列数公式是顺利进行计算和证明的关键．解题时要灵活应用下列各式：n！＝n(n－1)！；n·n！＝(n＋1)！－n！；n－1n！＝1（n－1）！－1n！.(2)充分利用排列的定义构造有关排列的模型进行证明．栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理规范解答含排列数方程的解法(本题满分12分)求下列各式中的x值．(1)3A3x＝2A2x＋1＋6A2x.(2)A42x＋1＝140A3x.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理[解](1)由3A3x＝2A2x＋1＋6A2x得，3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)·x＋6x(x－1)．2分∵x≥3且x∈N＋，∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)．化简整理得，3x2－17x＋10＝0.4分解得x1＝5，x2＝23(舍去)．∴x＝5.6分栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理(2)根据原方程，x(x∈N＋)应满足：2x＋1≥4，x≥3，解得x≥3.8分根据排列数公式，原方程可化为：(2x＋1)·2x·(2x－1)·(2x－2)＝140x(x－1)(x－2)．∵x≥3，∴两边同除以4x(x－1)，得(2x＋1)(2x－1)＝35(x－2)，即4x2－35x＋69＝0.10分解得x＝3或x＝234(x为整数，故应舍去)．∴原方程的解为x＝3.12分栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理[规范与警示]1.在处合理选择排列数公式的形式，将方程转化为关于x的代数方程是解题的关键．在处注意Amn中m，n∈N＋且m≤n这些限制条件获得了正确结果．栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理2．解排列数方程(或不等式)的步骤栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理已知3An8＜4An－19，则n为()A．7，8，9，10，11，12B．8，9C．7，8D．7C栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理[解析]由3An8＜4An－19及排列数公式得，3×8！（8－n）！＜4×9！（10－n）！，即3×8！（8－n）！＜4×9×8！（10－n）（9－n）（8－n）！，所以3＜4×9（10－n）（9－n），化简为n2－19n＋78＜0，所以6＜n＜13，因为n∈N＋，所以n＝7，8，9，10，11，12.由排列数的意义，可知n≤8且n－1≤9，即n≤8，所以6＜n≤8.又n∈N＋，所以n＝7或n＝8.栏目导引新知初探思维启动教材盘点