2.3双曲线与直线_中点弦

点与双曲线的位置关系一.xA1yOA2B2B1的位置关系与双曲线点)0,0(1),(2200babyyP22axx；在双曲线上点1),(22000byyP220axx)(1),(22000含焦点；在双曲线内点byyP220axx；在双曲线外点1),(22000byyP220axxxyo相交两个公共点相切一个公共点相离无公共点22221xyabykxm方程△0方程△=0方程△0复习：直线和椭圆的位置关系A1A2B1B2xyo种类:相离;相切;相交(两个交点,一个交点)位置关系与交点个数相交:两个交点相切:一个交点相离:0个交点相交:一个交点xyoxyo例1.判断下列直线与双曲线的位置关系224(3):1,:152516xylyxC相交(一个交点)225(4):1,:142516xylyxC相离22(1):3,:1916xylxC223(2):1,:14916xylyxC相切题型1:直线和双曲线的位置关系相交(两个交点)222.(0,3),1,43A.1B.2C.3D.4lxyl例过点作直线如果它与双曲线只有一个公共点则直线的条数是()Dxyo223.,143,33.(,)2233.(,)(,)2233.[,]2233.(,][,)22xyllkABCD例过原点作直线如果它与双曲线相交则直线的斜率的范围是()Axyo22.,143,33.(,)2233.(,)(,)2233.[,]2233.(,][,)22xyllkABCD练习过原点作直线如果它与双曲线相交则直线的斜率的范围是()Boxyxy例4已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取值范围,使直线与双曲线(1)只有一个公共点；(2)没有公共点；(3)有两个公共点;(4)交于异支两点；(5)与左支交于两点.k=±1，或k=±；52-1＜k＜1k＜或k＞525252＜k＜52125-k1k且224.416ykxxy例直线与双曲线不可能()BA.相交B.只有一个交点C.相离D.有两个公共点xyo例5.过双曲线的右焦点F,做直线l与双曲线的两支都相交,则直线l的倾斜角α的取值范围是____________________1322yxxyoF例6.已知直线y=kx-1与双曲线4x2-9y2=36求下列情况下实数k的取值范围.(2)没有公共点;(1)有两个不同公共点;(3)只有一个公共点;(4)与右支有两个公共点;例6.已知直线y=kx-1与双曲线4x2-9y2=36求下列情况下实数k的取值范围.(5)与左支有两个公共点;(6)与两支各有一个公共点.练习:已知直线y=kx-3与双曲线x2-y2=4求下列情况下k的取值范围.(2)有两个公共点;(3)没有公共点;(1)有一个公共点;(4)与右支有两个公共点;(5)与右支有一个公共点.15例2如图所示，过双曲线的右焦点F2,倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|22136xyF1F2xyOAB法一:设直线AB的方程为3(3)3yx与双曲线方程联立得A、B的坐标为923(3,23),(,)55由两点间的距离公式得|AB|=1635二弦长问题分析:求弦长问题有两种方法:法一:如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公式代入求弦长;法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达定理来处理.16法二:设直线AB的方程为3(3)3yx与双曲线方程联立消y得5x2+6x-27=0由两点间的距离公式得222212121212212121||()()()()32316()4335ABxxyyxxxxxxxx设A、B的坐标为(x1,y1)、(x2,y2),则1212627,55xxxx*练习:1.过双曲线116922yx的左焦点F1作倾角为4的直线与双曲线交于A、B两点，则|AB|=.2.双曲线的两条渐进线方程为20xy，且截直线30xy所得弦长为833，则该双曲线的方程为（）(A)2212xy(B)2214yx(C)2212yx(D)2214xyD192722122221(0,0),AB,,ABF.xyabFabmF思考：双曲线过左焦点与左支相交的弦的长为另一焦点求的周长xOyF1ABF22121|AF|||2,||||2AFaBFBFa解：mBFAF||||11且maBFaAFaBF4||2||2|||AF|11222m4|AB||||AF|22aBF周长例3已知双曲线方程为3x2-y2=3,求：(1)以2为斜率的弦的中点轨迹；(2)过定点B(2,1)的弦的中点轨迹；(3)以定点B(2,1)为中点的弦所在的直线方程.(4)以定点(1,1)为中点的弦存在吗？说明理由；三弦中点问题韦达定理法：先写出直线方程，再代入双曲线方程，利用韦达定理可求得中点坐标。点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率。2212121212)()()()0bxxxxayyyy（220020ABbxkay2设而不求20练习过点P(8,1)的直线与双曲线x2－4y2＝4相交于A,B两点，且P是线段AB的中点，求直线AB的方程．解：设A,B的坐标分别为(x1，y1),(x2，y2)，则x21－4y21＝4，x22－4y22＝4.两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.∵P是线段AB的中点，∴x1＋x2＝16，y1＋y2＝2.∴y1－y2x1－x2＝x1＋x24y1＋y2＝2.∴直线AB的斜率为2.∴直线AB的方程为y－1＝2(x－8)，即2x－y－15＝0.3、弦中点问题的两种处理方法：（1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；（2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。1、直线与双曲线的位置关系及判断方法；2、弦长的计算方法：弦长公式：|AB|==（适用于任何曲线）212124·11yyyyk）（2122124·1xxxxk）（小结22作业：1.（全优例2）已知双曲线3x2－y2＝3,直线l过其右焦点F2，与双曲线交于A、B两点，且倾斜角为45°，试问A、B两点是否位于双曲线的同一支上？并求出线段AB的长．（课本页）22y2.62B4给定双曲线x-=1,过点A(1,1)能否2作直线L使L与所给双曲线交于两点P,Q,且A是线段PQ的中点?说明理由.22:(1)195xy解椭圆(2,0)F2lyx直线：2225945yxxy由2143690xx得：1212189,714xxxx2212126111()47kxxxx弦长已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F，(1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.(2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点椭圆的弦所在的直线方程.例6、如图，已知椭圆与直线x+y-1=0交于A、B两点，AB的中点M与椭圆中心连线的斜率是，试求a、b的值。221axby22,AB22oxyABM22110axbyxy解:2)210yabxbxb消得:(2)(1)0babb=4-4(abab1122(,),(,)AxyBxy设121221,bbxxxxabab(,)baABMabab中点2212121()4ABkxxxx又MOakb222ba221222()4bbabab12,33ab25【解】∵a＝1，b＝3，c＝2，又直线l过点F2(2，0)，且斜率k＝tan45°＝1，∴l的方程为y＝x－2.由y＝x－23x2－y2＝3消去y并整理得2x2＋4x－7＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵x1·x2＝－720，1.（全优例2）已知双曲线3x2－y2＝3,直线l过其右焦点F2，与双曲线交于A、B两点，且倾斜角为45°，试问A、B两点是否位于双曲线的同一支上？并求出线段AB的长．∴A、B两点分别位于双曲线的左、右两支上．∵x1＋x2＝－2，x1·x2＝－72，∴|AB|＝1＋12|x1－x2|＝2·（x1＋x2）2－4x1x2＝2·（－2）2－4（－72）＝6.22:(2)519145解(1,1)A在椭圆内。1122(,),(,)AMNMxyNxy设以为中点的弦为且12122,2xxyy22115945xy22225945xy22221212590xxyy两式相减得：（）（）1212121259MNyyxxkxxyy5951(1)9AMNyx以为中点的弦为方程为:59140xy28解：由y＝kx－1x2－y2＝4得(1－k2)x2＋2kx－5＝0，易知此方程无解．由1－k2≠0Δ＝4k2＋20（1－k2）0得k52或k－52，则k的取值范围为k52或k－52.变式训练1.如果直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4没有公共点，求k的取值范围．