讲座-欧拉大降幂

欧拉大降幂及其在高等数学中的应用主讲人：中国民航大学理学院陶志E-mail:[e-mail]“高等数学”卓越工程师教育改革系列讲座之一微积分是人类智慧的最伟大成就之一。300年前，受天文学的影响，牛顿和莱布尼茨建立了微积分。在此后的每个世纪，微积分都显示了其在解决数学、物理、工程、社会学和生物学等问题上的非凡能力。■微分法和积分法体现了微积分中所蕴含的高度技巧性和非凡的计算能力！今天主要介绍欧拉公式在求解高次幂三角函数的微分与积分中的应用。■人物介绍----欧拉(Euler)。欧拉(1707~1783)，瑞士数学家及自然科学家。在1707年4月15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日於俄国的彼得堡去逝。欧拉公式形式众多，有多面体欧拉公式、欧拉求和公式、欧拉积分公式等，今天只介绍欧拉公式的一种形式：■欧拉公式)1(sincosiei为实数。其中）式得：由（)2(sincos1ieisin2:21cos221ieeeeiiii得）（）（）得：（）则（ieeeeiiii2sin;2cos■欧拉公式大降幂在高等数学中常会遇到高次幂正余弦函数的积分问题，这些函数的积分在计算上很不方便，利用欧拉公式可以把高次幂正余弦函数表示为一次幂正余弦函数的代数和，然后再利用凑微分和拆项积分法，就可以方便的求出问题的解。1正弦大降幂33)2(sinieexixix]33[)2(132233xixiixixxixieeeeeei]232[)2(1332ieeieeiixixxixi]sin33[sin)2(12xxi44)2(sinieexixix]464[)2(14322344xixiixxixiixxixieeeeeeeei]621242[)2(222444xixixixieeeei]6212cos44[cos)2(24xxi55)2(sinieexixixxixixixiixxixieeeeeeei322345510105[)2(1]554xixiixeee]sin103sin55[sin)2(14xxxi以此类推，xx76sin,sin.)2(112,)2(22122mmimnimnn时，系数为当时，系数为当的奇偶而定：）括号前的系数视（如下：综上，正弦大降幂规则.2）括号内符号正负相间（.21,2cos,,)42cos(,)22cos(,2cos232122212mmmmmmCxCxmCxmCmxmn弦，依次为时，括号内各项均为余）当（.sin,3sin,,)32sin(,)12sin(,)12in(1212112212112xCxCxmCxmCxmsmnmmmmmm弦，依次为时，括号内各项均为正当]252212cos2104cos1206cos458cos1010[cos)2(2sin1010xxxxxix例如，]252212cos2104cos1206cos458cos1010[cos5121xxxxxdxxxxxxxdx]252212cos2104cos1206cos458cos1010[cos5121sin10于是，]126)2(2cos2210)4(4cos4120)6(6cos645)8(8cos810)10(10cos101[5121dxxxdxxdxxdxxdxxdCxxxxxx]1262sin22104sin41206sin6458sin81010sin101[5121Cxxxxxx]2522sin2104sin606sin158sin2510sin51[10241xdx11sin2求积分例]sin3sin5sin7sin9sin11in[)2(1sin5114113112111111011xCxCxCxCxCxsix解：因为]sin3sin5sin7sin9sin11in[2151141131121111110xCxCxCxCxCxs所以dxxCxCxCxCxCxs]sin3sin5sin7sin9sin11in[2151141131121111110xdx11sin]cos33cos55cos77cos99cos1111cos[2151141131121111110xCxCxCxCxCx2余弦大降幂33)2(cosixixeex32331[33]2ixixixixixeeeee]cos33[cos212xx44)2(cosixixeex]212cos4[cos2124143CxCx55)2(cosixixeex]cos3cos5[cos2125154xCxCx;2111n-）括号前的系数为（如下：综上，余弦大降幂规则号；）括号内全部是（2.21,2cos,,)42cos(,)22cos(,2cos232122212mmmmmmCxCxmCxmCmxmn时，依次为当，）括号内各项均为余弦（.cos,,)32cos(,)12cos(,)12cos(1212212112xCxmCxmCxmmnmmmm时，依次为当22303()aaxdx例求积分,2,,0,0,sintaxtxtax则令解：22344200()cosaaxdxatdt4122443011[cos4cos2]22atCtCdt412403sin4sin2[3]242attCt4316a■欧拉大降幂在其他方面的应用的极值。求函数例cossin)(41010xxxf展开：和解：先用公式将cossin1010xx)1(]252212cos2104cos1206cos458cos1010[cos21sin910xxxxxx)2(]1262cos2104cos1206cos458cos1010[cos21cos910xxxxxx（1）+（2）整理后得：71()[5cos860cos463]2fxxx271[10cos4560cos463]2xx271[10cos460cos458]2xx271[10(cos43)49]2x时，即所以，当21,4cosnxx209max()128fx时，即当4)12(1,4cosnxx49min()128fx阶导数。的求函数例cos)(57nxxf]cos3cos5cos7[cos21cos37271767xCxCxCxx解：]cos3cos5cos7[cos21)()(37)(27)(17)(6xCxCxCxdxxfdnnnnnn故)]2cos()23cos(3)25cos(5)27cos(7[213727176nxCnxCnxCnxnnn项和。的前求三角级数例nnxxxxxfsin3sin2sinsin)(6nknkxs1sin解：][212111nkikxnkikxnkikxikxeeiieeixinxixixinxixeeeieeei1)1(211)1(21)()(21)()(21222222222222xixixixnixnixniixxixixixnixnixniixeeeeeeeieeeeeeeiieeieeeiieeieeeixixinxinxixnixixinxinxixni222122212222212222212sin2sin212sin2sin212121xnxeixnxeixnixni2sin21sin2sin22sin2sin2121xxnnxieexnxxnixnidxxxxx3coscos33sinsin37求积分例duudxuxux211,arctan,tan则解：令)(21)(23)(21)(233coscos33sinsin33333ixixixixixixixixeeeeeeieeixxxx]3))[(()(3]1))[(()(3122ixixixixixixixixixixixixeeeeeeeeeeeei)(tanixixixixeeuieeux由得：代入上式消去)(ixixee]1)(11[1)(]2)[(3coscos33sinsin3222ixixixixixixeeueeeeuxxxx]1cos411[2xu22222211cos,coscos1tanuxxxxu而5623coscos33sinsin323uuuxxxx于是duuuuudxxxxx223115623coscos33sinsin3duuuduuu5122)5)(1ln(2122uu)5)(tan1ln(tan2122xx展开成傅里叶级数。将函数例sin)(810xxf,)sincos(2)(10nnnnxbnxaaxf).,2,1,0(cos)(1nnxdxxfan).,3,2,1(sin)(1nnxdxxfbn计算非常困难！而sinsin1,cossin11010nxdxxnxdxx]252212cos2104cos1206cos458cos1010[cos5121sinsin,1010xxxxxxx的傅里叶级数就是：实际上课间休息