第五讲十堰职业技术学院湖北省示范性高职院校立项建设单位.

§3.5函数的极值与最大值最小值一、函数的极值及其求法二、最大值最小值问题提问：f(a)和f(b)是极值吗？函数的极值一、函数的极值及其求法设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义如果对于任意xU(x0)有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0))则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值(或极小值)。x1x2x3x4x5函数的极大值与极小值统称为函数的极值使函数取得极值的点称为极值点观察与思考：观察极值与切线的关系设函数f(x)在点x0处可导且在x0处取得极值那么f(x0)0•驻点使导数f(x)为零的点(方程f(x)0的实根)称为函数f(x)的驻点定理1(必要条件)讨论：极值点是否一定是驻点？驻点是否一定是极值点？考察x0是否是函数yx3的驻点是否是函数的极值点x1x2x3x4x5设函数f(x)在点x0处可导且在x0处取得极值那么f(x0)0•驻点使导数f(x)为零的点(方程f(x)0的实根)称为函数f(x)的驻点定理1(必要条件)观察与思考：(1)观察曲线的升降与极值之间的关系(2)观察曲线的凹凸性与极值之间的关系x1x2x3x4x5设函数f(x)在x0处连续且在(ax0)(x0b)内可导(1)如果在(ax0)内f(x)0在(x0b)内f(x)0那么函数f(x)在x0处取得极大值(2)如果在(ax0)内f(x)0在(x0b)内f(x)0那么函数f(x)在x0处取得极小值(3)如果在(ax0)及(x0b)内f(x)的符号相同那么函数f(x)在x0处没有极值定理2(第一充分条件)x1x2x3x4x5确定极值点和极值的步骤(1)求出导数f(x)(2)求出f(x)的全部驻点和不可导点(3)考察在每个驻点和不可导点的左右邻近f(x)的符号(4)确定出函数的所有极值点和极值设函数f(x)在x0处连续且在(ax0)(x0b)内可导(1)如果在(ax0)内f(x)0在(x0b)内f(x)0那么函数f(x)在x0处取得极大值(2)如果在(ax0)内f(x)0在(x0b)内f(x)0那么函数f(x)在x0处取得极小值(3)如果在(ax0)及(x0b)内f(x)的符号相同那么函数f(x)在x0处没有极值定理2(第一充分条件)例1求函数32)1()4()(xxxf的极值例1(1)f(x)在()内连续除x1外处处可导且解313)1(5)(xxxf(3)列表判断x1为f(x)的不可导点得驻点x1(2)令f(x)0343343343343(1)1(11)1(1)不可导0xf(x)f(x)↗0↘↗343(4)极大值为f(1)0极小值为343)1(f定理3(第二充分条件)设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f(x0)0f(x0)0那么(1)当f(x0)0时函数f(x)在x0处取得极大值(2)当f(x0)0时函数f(x)在x0处取得极小值应注意的问题：如果f(x0)0f(x0)0则定理3不能应用但不能由此说明f(x0)不是f(x)的极值。讨论：函数f(x)x4g(x)x3在点x0是否有极值？例2求函数f(x)(x21)31的极值解f(x)6x(x21)2令f(x)0求得驻点x11x20x31f(x)6(x21)(5x21)因为f(0)60所以f(x)在x0处取得极小值极小值为f(0)0因为f(1)f(1)0所以用定理3无法判别因为在1的左右邻域内f(x)0所以f(x)在1处没有极值同理f(x)在1处也没有极值二、最大值最小值问题观察与思考：观察哪些点有可能成为函数的最大值或最小值点怎样求函数的最大值和最小值x1x2x3x4x5Mm闭区间上的连续函数其最大值和最小值只可能在区间的端点及区间内的极值点处取得函数在闭区间[ab]上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中的最大者其最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中的最小者极值与最值的关系x1x2x3x4x5Mm最大值和最小值的求法(1)求出函数f(x)在(ab)内的驻点和不可导点设这此点为x1x2xn(2)计算函数值f(a)f(x1)f(xn)f(b)(3)判断:最大者是函数f(x)在[ab]上的最大值最小者是函数f(x)在[ab]上的最小值x1x2x3x4x5Mm例3讨论函数的极值。解32)2(1xy例4工厂C与铁路线的垂直距离AC为20kmA点到火车站B的距离为100km欲修一条从工厂到铁路的公路CD已知铁路与公路每公里运费之比为3:5为了使火车站B与工厂C间的运费最省问D点应选在何处？DC20kmAB100km解x2400xCD设ADx(km)y5kCD3kDB(k是某个正数)即)100(340052xkxky(0x100)B与C间的运费为y则DB100x由)34005(2xxky0得x15其中以y|x15380k为最小因此当AD15km时运费最省由于y|x0400ky|x15380k2100511500|kyx例4工厂C与铁路线的垂直距离AC为20kmA点到火车站B的距离为100km欲修一条从工厂到铁路的公路CD已知铁路与公路每公里运费之比为3:5为了使火车站B与工厂C间的运费最省问D点应选在何处？由)34005(2xxky0得x15y5kCD3kDB(k是某个正数)即)100(340052xkxky(0x100)解设ADx(km)B与C间的运费为y则特殊情况下的最大值与最小值如果f(x)在一个区间(有限或无限开或闭)内可导且只有一个驻点x0那么当f(x0)是极大值时f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值当f(x0)是极小值时f(x0)就是f(x)在该区间上的最小值解261bhW)(6122bdb(0bd)261bhW)(6122bdb(0bd)由0)3(6122bdW得函数的唯一驻点db310由0)3(6122bdW得函数的唯一驻点db310所以当db31时抗弯截面模量W最大这时dh32所以当db31时抗弯截面模量W最大这时dh32把W表示成b的函数:函数在唯一驻点b0处一定取得最大值由Wb0知例5把直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁问矩形截面的高h和宽b应如何选择才261bhW能使梁的抗弯截面模量W()最大?