第一课 函数易错点分析 佘维平

2011.3.高考数学复习讲座佘维平高考数学易错点分析•认识典型错误•充分暴露错误的思维过程•分析出错原因•在比较中、在纠错中对正确的思路与方法留下深刻印象•目的：有效地避免出错，提高解题准确率•这是同学们在复习时不可或缺的一个环节第一课函数易错问题举例•函数是贯穿高中数学始终的内容，也是高考的重点内容•高考中同学们在函数问题上常常因思维有漏洞，概念不清晰，知识、方法应用有误，计算、推断有失误而把许多本会做的题目做错了•本课旨在对函数问题上常见的易漏、易混、易误的地方给同学们提个醒，只要你对这些问题有所认识，并引起重视，就能避免误入丢分陷阱，在高考中就能克服“会而不对，对而不全”的毛病，考出自己的最好成绩•例1.已知集合A={x,xy,lgxy},集合B={0,｜x｜,y},且A=B,则x+y=____•提醒：•①研究集合不能漏掉集合元素的特征，即：确定性、互异性、无序性•②你注意到对数的底数与真数的范围了吗？•∴只可能lgxy＝0,xy=1,∴x=y=-1例2.满足条件的集合M共有多少个？•你考虑到了可以M={1},但M≠{1,2,3,4}了吗？•所以，M中的元素个数可以是1至3个，答案：7个；•另外，对集合问题你还要注意不要忘了全集和空集的特殊情况}4,3,2,1{}1{M例3.已知函数求函数的单调递增区间.,9,1,2log3xxxf22xfxfy3)3(log222xxfxfy解∵∴函数递增区间是[1,9]以上解法是错误的，原因是未考虑函数定义域！正解由1≦x2≦9知函数定义域是[1,3]•切记：函数问题定义域优先∴函数递增区间是[1,3]•例4.写出命题“若x=1,则x2=1”的否命题和该命题的否定形式•解“否命题”与“命题的否定形式”是不同的•否命题：若x≠1则x2≠1（条件与结论都否掉）•命题的否定：若x=1，则x2≠1（仅否掉结论）例5.集合、与的区别是什么？•三个集合分别是定义域、值域、曲线上的点集•或者说：前两个是数集，后一个是点集•不能忽视集合表示中元素的含义，在此题中不能混淆点集和数集的区别•我们看一个实例：1|2xyx1|2xyy1|),(2xyyx•例6求集合｛y|y=x+1｝与｛y|y=x2+1｝的交集•例7求集合｛(x,y)|y=x+1｝与｛(x,y)|y=x2+1｝的交集•例6是求两个函数值域的交集•答案：[1,+∞）•例7是求两条曲线的交点坐标•解方程组可得交点坐标（0，1）、（1，2）说明：y=f(x)在闭区间上有以下结论:•①af(x)有解等价于af(x)max•②af(x)有解等价于af(x)min•③af(x)恒成立等价于af(x)min•④af(x)恒成立等价于af(x)max•例8已知函数定义域是（0.5,+∞)，求a的值])2([log)(xaaxxf•错解只能说明函数在区间（0.5,+∞)上有意义,即（0.5,+∞)是定义域的一个子集,并不能说明定义域恰好为（0.5,+∞).100.5解法错误！•分析：错解将函数定义域为（0.5,+∞)与函数在区间（0.5,+∞)上有意义混为一谈例8已知函数定义域是（0.5,+∞)，求a的值•由题意的解集是（0.5,+∞)])2([log)(xaaxxf100.5•正解•∴如图有21)2(21a41a•解得•例9判断下列说法的正确性:•①若函数f(x)满足f(1-x)=f(3+x),x∈R,则函数f(x)的对称轴为直线x=2;•②函数y=f(1-x)与y=f(1+x)的图像关于直线x=0对称;•③函数y=f(1-x)与y=f(x-1)的图像关于直线x=0对称.•解析①是函数的自身的对称问题(自对称)•②、③是两个函数的对称问题(互对称)•①,②正确，③错•对③函数y=f(1-x)与y=f(x-1)……•∵y=f(-x)与y=f(x)关于直线x=0对称•将y=f(-x)与y=f(x)分别向右平移1个单位可得到函数y=f(1-x)与函数y=f(x-1)的图像•∴f(-x)与f(x)图像的对称轴也向右平移了1个单位,即两个函数图像的对称轴应是x＝1.•同法可判断③是正确的关于对称性有如下一般性结论:•1.若函数f(x)满足f(a-x)=f(b+x),则函数f(x)的对称轴为直线x=（a+b)/2•2.函数y=f(a-x)与函数y=f(b+x)的图像关于直线x=（a-b)/2对称例10已知函数y=g(x)的图像与函数y=f-1(x-1)的图像关于直线y=x对称,且f(2)=1,求g(2).•解析同学们易错误地认为y=f(x-1)与y=f-1(x-1)互为反函数•其实由y=f-1(x-1)有x-1=f(y)，即x=f(y)+1•故y=f-1(x-1)的反函数为y=f(x)+1•因此,g(x)=f(x)+1,g(2)=f(2)+1=2.•另解由条件g-1(x)=f-1(x-1),∴g-1(2)=f-1(1)=2,∴g(2)=2.例11.已知二次函数f(x)对任意x∈R，都有f(1－x)=f(1＋x)成立，设向量a=(sinx,2)，b=(2sinx,0.5)，c=(cos2x,1)，d=(1,2)，当x∈[0,π]时，求不等式f(a·b)＞f(c·d)的解集.•易错点分析：•①易忽视对二次函数的开口方向的讨论•②三角、向量、函数三者的综合上易出错解析：•设f(x)的二次项系数为m，其图象上的两点为A(1－x,y1)、B(1＋x,y2)•由f(1－x)=f(1＋x)知，f(x)的图象关于直线x=1对称•若m＞0，则x≥1时，f(x)是增函数•若m＜0，则x≥1时，f(x)是减函数•∵a·b=（sinx，2）·（2sinx,0.5）=2sin2x＋1≥1•c·d=（cos2x，1）·(1,2)=cos2x＋2≥1•∴当m＞0时•f(a·b)＞f(c·d)⇔f(2sin2x＋1)＞f(cos2x＋2)•⇔2sin2x＋1＞cos2x＋2⇔1－cos2x＋1＞cos2x＋2⇔cos2x＜0⇔2kπ＋＜2x＜2kπ＋,k∈z223⇔kπ＋＜x＜kπ＋,k∈z443∵0≤x≤π∴＜x＜443当m＜0时，同法可得0≤x＜或＜x≤π443综上所述，不等式f(a·b)＞f(c·d)的解集是：当m＞0时{xI＜x＜}443当m＜0时，0≤x＜或＜x≤π443•反思：•①在运用函数的单调性构造不等式时，一定要明确函数在哪个区间或定义域上的单调性如何（不可忽视定义域的限制）•②当自变量x不能取遍任意实数时，我们必须检验这个最值在定义域内有相应的x值，以确定这个最值是否有意义四.对症下药、自我诊断•以下一组针对性习题希望同学们认真演练•见佘维平数学工作室：•更多的高考数学易错点分析示例在这个网站可以下载•同学们再见！例.函数y=（a-2)2x2+2(a-2)x-1的值对一切x∈R恒为负数，求a的取植范围.•解由条件（a-2)2x2+2(a-2)x-10恒成立•∴⊿0，得1a2•提醒：你注意到a＝2的情况了吗？•正确答案：1a≦2