云师堂,高考数学,2017一轮复习第五章第3讲

第3讲基本不等式第六章不等式、推理与证明栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明1．基本不等式ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：____________．(2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．a≥0，b≥0a＝b栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明2．算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为________，几何平均数为________，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．a＋b2ab栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明3．利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当________时，x＋y有________值是________．(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当________时，xy有________值是________．(简记：和定积最大)x＝y最小2px＝y最大p24栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明1．辨明两个易误点(1)使用基本不等式求最值，“一正，二定，三相等”三个条件缺一不可；(2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明2．活用几个重要的不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；ba＋ab≥2(a，b同号)；ab≤a＋b22(a，b∈R)；a＋b22≤a2＋b22(a，b∈R)．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明3．巧用“拆”“拼”“凑”在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明1．若x0，y0，且x＋y＝13，则xy的最大值为()A.233B．23C.19D.136D解析：因为x0，y0，且x＋y＝13，所以xy≤x＋y22＝1322＝136.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明2．(2016·郑州模拟)设a0，b0，若a＋b＝1，则1a＋1b的最小值是()A．2B.14C．4D．8C解析：由题意1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ba＋ab≥2＋2ba×ab＝4，当且仅当ba＝ab，即a＝b＝12时，取等号，所以最小值为4.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明3．若a，b∈R，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b22abB．a＋b≥2abC.1a＋1b2abD.ba＋ab≥2D解析：因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以A错误．对于B，C，当a0，b0时，明显错误．对于D，因为ab0，所以ba＋ab≥2ba·ab＝2.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明4．若x1，则x＋4x－1的最小值为________．5解析：x＋4x－1＝x－1＋4x－1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x－1＝4x－1，即x＝3时等号成立．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明解析：设矩形的长为xm，宽为ym，则x＋y＝10，所以S＝xy≤x＋y22＝25，当且仅当x＝y＝5时取等号．5．(必修5P100习题3.4A组T2改编)若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________．25m2栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明考点一利用基本不等式求最值(高频考点)利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题．高考对利用基本不等式求最值的考查常有以下三个命题角度：(1)知和求积的最值；(2)知积求和的最值；(3)求参数的值或范围．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明(1)(2015·高考湖南卷)若实数a，b满足1a＋2b＝ab，则ab的最小值为()A.2B．2C．22D．4C栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明(2)(2015·高考福建卷)若直线xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于()A．2B．3C．4D．5(3)(2015·高考重庆卷)设a，b＞0，a＋b＝5，则a＋1＋b＋3的最大值为________．C32栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明[解析](1)由1a＋2b＝ab知a0，b0，所以ab＝1a＋2b≥22ab，即ab≥22，当且仅当1a＝2b，1a＋2b＝ab，即a＝42，b＝242时取“＝”，所以ab的最小值为22.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明(2)将(1，1)代入直线xa＋yb＝1，得1a＋1b＝1，a＞0，b＞0，故a＋b＝(a＋b)(1a＋1b)＝2＋ba＋ab≥2＋2＝4，等号当且仅当a＝b时取到，故选C.(3)令t＝a＋1＋b＋3，则t2＝a＋1＋b＋3＋2（a＋1）（b＋3）＝9＋2（a＋1）（b＋3）≤9＋a＋1＋b＋3＝13＋a＋b＝13＋5＝18，当且仅当a＋1＝b＋3时取等号，此时a＝72，b＝32.所以tmax＝18＝32.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明利用基本不等式求最值需满足的三个条件(1)“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”即检验等号成立的条件，判断等号能否取到，只有等号能成立，才能利用基本不等式求最值.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明1.(1)当x＞0时，f(x)＝2xx2＋1的最大值为__________．(2)若x3，则函数f(x)＝4x－3＋x的最大值为________．(3)已知函数y＝ax＋3－2(a0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线xm＋yn＝－1上，且m，n0，则3m＋n的最小值为________．1－116解析：(1)因为x＞0，所以f(x)＝2xx2＋1＝2x＋1x≤22＝1，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明(2)因为x3，所以x－30，所以3－x0，所以f(x)＝4x－3＋x＝4x－3＋(x－3)＋3＝－43－x＋（3－x）＋3≤－243－x·（3－x）＋3＝－1，当且仅当43－x＝3－x，即x＝1时，等号成立．故f(x)的最大值为－1.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明(3)易知函数y＝ax＋3－2(a0，a≠1)恒过定点(－3，－1)，所以A(－3，－1)．又因为点A在直线xm＋yn＝－1上，所以3m＋1n＝1.所以3m＋n＝(3m＋n)·3m＋1n＝10＋3mn＋3nm≥10＋23mn·3nm＝16，当且仅当m＝n时，等号成立，所以3m＋n的最小值为16.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明考点二利用基本不等式证明不等式已知a0，b0，a＋b＝1，求证：1＋1a1＋1b≥9.[证明]法一：因为a0，b0，a＋b＝1，所以1＋1a＝1＋a＋ba＝2＋ba.同理，1＋1b＝2＋ab.所以1＋1a1＋1b＝2＋ba·栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明2＋ab＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9，当且仅当ba＝ab，即a＝b时取“＝”．所以1＋1a1＋1b≥9，当且仅当a＝b＝12时等号成立．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明法二：1＋1a1＋1b＝1＋1a＋1b＋1ab＝1＋a＋bab＋1ab＝1＋2ab，因为a，b为正数，a＋b＝1，所以ab≤a＋b22＝14，当且仅当a＝b＝12时取“＝”．于是1ab≥4，2ab≥8，所以1＋1a1＋1b≥1＋8＝9，当且仅当a＝b＝12时等号成立．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明利用基本不等式证明不等式的策略(1)若要证明的不等式不能直接使用基本不等式，则考虑利用拆项、配凑等方法对要证不等式进行变形，使之达到能使用基本不等式的条件；(2)若题目中还有已知条件，则首先观察已知条件和要证不等式之间的联系，当已知条件中含有1时，要注意1的代换；(3)解题时要时刻注意取得等号的条件能否成立．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明2.设a，b，c都是正数，求证：bca＋acb＋abc≥a＋b＋c.证明：因为a，b，c都是正数，所以bca，cab，abc都是正数．所以bca＋cab≥2c，当且仅当a＝b时等号成立，cab＋abc≥2a，当且仅当b＝c时等号成立，abc＋bca≥2b，当且仅当a＝c时等号成立．三式相加，得2bca＋cab＋abc≥2(a＋b＋c)，即bca＋cab＋abc≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时等号成立．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明考点三利用基本不等式解决实际问题小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝13x2＋x(万元)．在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋100x－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明[解](1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，依题意得，当0x8时，L(x)＝5x－13x2＋x－3＝－13x2＋4x－3；当x≥8时，L(x)＝5x－6x＋100x－38－3＝35－x＋100x.所以L(x)＝－13x2＋4x－3，0x8，35－x＋100x，x≥8.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明(2)当0x8时，L(x)＝－13(x－6)2＋9.此时，当x＝6时，L(x