四参数拟合需求及详细算法

第1章概述本文档之目的是利用已知的几组数据通过现有数学模型，求出数学模型中的四个参数，并确保拟合后的数学模型中自变量和因变量的相关度≥0.997.第二章设计需求及详细算法2.1设计需求通过已知的吸光度值x和浓度值y，进行四参数对数拟合，求出四参数模型中的对应参数a,b,c,d。四参数数学模型如下所示：dbcxday1需求1：通过已知数据（x,y）数组拟合后，求出数学模型中的a,b,c,d；需求2：要求所计算出的四个参数，能够保证x,y的相关度≥0.997.需求3：和软件现有的其他算法如半对数、二参数等算法并行存在于软件中；并在软件后续的数据转换和图像显示中可以调度该功能模块；2.2四参数拟合算法详解数学模型：dbcxday1（1）具体算法实现：整个算法基于高斯牛顿迭代法：其基本思想是使用泰勒级数展开式去近似地代替非线性回归模型，然后通过多次迭代，多次修正回归系数，使回归系数不断逼近非线性回归模型的最佳回归系数，最后使原模型的残差平方和达到最小。（在软件算法的实现上，可以进一步参照教程《计算方法》）第一步：求a,b,c和d的初值。（此时x不能为0值，若输入的x有0值，则在软件实现过程中设定：x=0.0001）对上述模型（1）进行数学变换后得到：xbcbaydylnlnln（2）在计算的过程中，具体算法进行如下处理：将d的初值设为输入的y值的最大值加1，a的初值设为输入的y值的最小值减0.1。通过简单的直线拟合即可求出b和c的初值。第二步：对方程（2）中的四个参数分别求偏微分。得到y对给定系数的增量（△a,△b,△c△d）的泰勒级数展开式。bcxay11bcxdy111bbcxcxdacbcy2121lnbbcxdacxcxby泰勒级数展开式为：)(0ddyccybbyaayyy(3)由此，将曲线回归转化为多元线性回归，通过迭代计算，得到四个参数的变量△a,△b,△c,△d，逐步修正四参数的值。每一次迭代可计算出参数变量值，新的参数值为原参数值与变量值的叠加。（迭代的算法可以参照多元线性回归的计算方法）第三步：相关系数计算方法：为保证迭代收敛，在计算相关系数时，引入一系数m，初值设为2，将a与参数的变量矩阵相乘，计算相关系数。m=m/2，循环10次，每次m的值减半。取循环中得到的相关系数最大的变量矩阵[△a,△b,△c,△d]。（采用Gauss法进行消元。）第四步：迭代终止条件：默认总的迭代次数为1000次，或者当相关系数满足≥0.997时，则迭代停止。返回得到的四参数值。dbcxday1xbcbaydylnlnln)(0ddyccybbyaayyy四参数数学模型对该数学模型求对数对四参数求偏微分利用多元线性回归进行迭代计算四参数模型详细算法2.3设计输入输出举例：如下表所示：x,y为本算法的设计输入。（x,y非固定值，在软件设计过程中，需要实现对x,y数据的读取，并进行相应处理）xy.拟合后计算所得y.残差1.00000.00900.97060.029410.00000.647510.2690-0.269030.00001.276529.22270.7773100.00002.1520101.9846-1.9846300.00002.7380296.88553.1145设计输出为：利用四参数数学模型，计算出a,b，c,d后，将拟合前后的y值进行对照，确保拟合后的自变量和因变量满足设计需求。