2017-2018学年高一数学北师大版必修4第1章§1周期现象§2角的概念的推广

上一页返回首页下一页阶段一阶段二阶段三学业分层测评§1周期现象§2角的概念的推广上一页返回首页下一页1．了解现实生活中的周期现象．2．了解任意角的概念，理解象限角的概念．(重点)3．掌握终边相同角的含义及表示．(难点)4．会用集合表示象限角．(易错点)上一页返回首页下一页[基础·初探]教材整理1周期现象阅读教材P3～P4“例3”以上部分，完成下列问题．1．以相同间隔的现象叫作周期现象．2．要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间，这种现象是否会出现，若出现，则为周期现象；否则，不是周期现象．重复出现重复上一页返回首页下一页判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)某同学每天上学的时间是周期现象．()(2)月球到太阳的距离随时间的变化是周期现象．()(3)潮汐现象是周期现象．()上一页返回首页下一页【解析】(1)由周期现象的概念知，某同学每天上学的时间不是周期现象．(2)月球到太阳的距离在任何一个确定的时刻都是确定的，并且经过一定时间，月球又回到原来的位置，因此，是周期现象．(3)每一昼夜潮水会涨落两次，是周期现象．【答案】(1)×(2)√(3)√上一页返回首页下一页教材整理2角的概念阅读教材P6～P7“例1”以上部分，完成下列问题．1．角的有关概念公共端点射线射线端点上一页返回首页下一页2．角的概念的推广类型定义图示正角按方向旋转形成的角负角按方向旋转形成的角逆时针顺时针上一页返回首页下一页零角一条射线从起始位置OA_______________，终止位置OB与起始位置OA____，我们称这样的角为零度角，又称零角没有作任何旋转重合上一页返回首页下一页3.象限角的概念(1)前提条件①角的顶点与____重合．②角的始边与______________重合．(2)结论角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是___________．原点x轴的非负半轴第几象限角上一页返回首页下一页(3)终边相同的角及其表示所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝_______________________．如图1­2­1所示：图1­2­1{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}上一页返回首页下一页注意以下几点：①k是整数，这个条件不能漏掉．②α是任意角．③k·360°与α之间用“＋”号连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)(k∈Z)．④终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．上一页返回首页下一页判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角形的内角必为第一、二象限角．()(2)第三象限角一定比钝角大．()(3)始边相同，终边不同的角一定不相等．()(4)始边相同，终边也相同的角一定相等。()上一页返回首页下一页【解析】(1)当三角形的一个内角为90°时，就不是第一、二象限角．(2)第三象限角为负角时比钝角小．(3)据终边相同角的含义知，终边不同的角一定不相等．(4)其差为k·360°，k∈Z，故不一定相等。【答案】(1)×(2)×(3)√(4)×上一页返回首页下一页[小组合作型]周期现象的判断(1)下列变化中不是周期现象的是()A．“春去春又回”B．钟表的分针每小时转一圈C．天干地支表示年、月、日的时间顺序D．某交通路口每次绿灯通过的车辆数上一页返回首页下一页(2)水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升．【自主解答】(1)由周期现象的概念易知，某交通路口每次绿灯通过的车辆数不是周期现象．故选D.【答案】D(2)因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升)，所以水车1小时内最多盛水160×12＝1920(升)．上一页返回首页下一页1．应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”“化无限为有限”的目的．2．只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”，就可以把问题转化到一个周期内来解决．上一页返回首页下一页[再练一题]1．如图1­2­2所示是某人的心电图，根据这个心电图，请你判断其心脏跳动是否正常．图1­2­2【解】观察图像可知，此人的心电图是周期性变化的，因此心脏跳动正常．上一页返回首页下一页XXX角的概念下列结论：①锐角都是第一象限角；②第二象限角是钝角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中，正确结论的序号为．(把正确结论的序号都写上)【导学号：66470000】上一页返回首页下一页【精彩点拨】根据任意角、象限角的概念进行判断，正确区分第一象限角、锐角和小于90°的角．【自主解答】①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以①正确；②480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以②不正确；③0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③不正确．【答案】①上一页返回首页下一页判断角的概念问题的关键与技巧1．关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．2．技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．上一页返回首页下一页[再练一题]2．下列说法正确的是()A．终边相同的角一定相等B．钝角一定是第二象限角C．第一象限角一定不是负角D．小于90°的角都是锐角上一页返回首页下一页【解析】终边相同的角不一定相等，故A不正确；钝角一定是第二象限角，故B正确；因－330°是第一象限角，因而C不正确；－45°90°，但它不是锐角，所以D不正确．【答案】B上一页返回首页下一页[探究共研型]象限角的表示探究1是不是任意角都是象限角？为什么？【提示】不是．一些特殊角终边可能落在坐标轴上．如果角的终边在坐标轴上，这个角就不是象限角．上一页返回首页下一页探究2象限角的表示．α终边所在的位置角α的集合第一象限①第二象限②第三象限③第四象限④上一页返回首页下一页【提示】象限角角的集合表示第一象限角{a|k·360°αk·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{a|k·360°＋90°αk·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{a|k·360°＋180°αk·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{a|k·360°＋270°αk·360°＋360°，k∈Z}上一页返回首页下一页已知α为第二象限角，问2α，α2分别为第几象限的角？【精彩点拨】由角α为第二象限角，可以写出α的范围：90°＋k·360°α180°＋k·360°(k∈Z)，在此基础上可以判断2α，α2的范围，进而可以判断出它们所在的象限．上一页返回首页下一页【自主解答】∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°α180°＋k·360°(k∈Z)．∴180°＋2k·360°2α360°＋2k·360°(k∈Z)．∴2α是第三或第四象限角，以及终边落在y轴的负半轴上的角．同理，45°＋k2·360°α290°＋k2·360°(k∈Z)．①当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)．则45°＋n·360°α290°＋n·360°(k∈Z)，此时α2为第一象限角；上一页返回首页下一页②当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)．则225°＋n·360°α2270°＋n·360°(n∈Z)．此时α2为第三象限角，综上可知，α2为第一或第三象限角．上一页返回首页下一页[再练一题]3．本例中，α3是第几象限角？【解】∵α为第二象限角．∴90°＋k·360°α180°＋k·360°(k∈Z)．∴30°＋k3·360°α360°＋k3·360°(k∈Z)．上一页返回首页下一页①当k＝3n(n∈Z)时，30°＋n·360°α360°＋n·360°.此时，α3为第一象限角；②当k＝3n＋1(n∈Z)时，150°＋n·360°α3180°＋n·360°.此时，α3为第二象限角；上一页返回首页下一页③当k＝3n＋2(n∈Z)时，270°＋n·360°α3300°＋n·360°.此时，α3为第四象限角．综上可知，α3为第一或第二或第四象限角．上一页返回首页下一页终边相同的角探究3在同一坐标系中作出390°，－330°，30°的角并观察，这三个角终边之间的位置关系？角的大小关系？【提示】如图所示，三个角终边相同，相差360°的整数倍．上一页返回首页下一页探究4对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合应如何表示？【提示】所有与角α终边相同的角连同α在内，可以构成一个集合．S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角整数倍的和．上一页返回首页下一页已知α＝－1910°.(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ0°.【精彩点拨】利用终边相同的角的关系β＝α＋k·360°，k∈Z.求解．上一页返回首页下一页【自主解答】(1)－1910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限的角．(2)令θ＝250°＋k·360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ0°的角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.上一页返回首页下一页终边相同的角相差360°的整数倍.判定一个角在第几象限，只要在0°～360°范围内找与它终边相同的角，即把这个角β写成β＝α＋k×360°0°≤α360°k∈Z的形式，判断角α是第几象限角即可.上一页返回首页下一页[再练一题]4．在与角10030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)360°～720°的角．上一页返回首页下一页【解】(1)与10030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10030°(k∈Z)，由－360°k·360°＋10030°0°，得－10390°k·360°－10030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.(2)由0°k·360°＋10030°360°，得－10030°k·360°－9670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.(3)由360°≤k·360°＋10030°720°，得－9670°≤k·360°－9310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.上一页返回首页下一页1．下列变化是周期现象的是()A．地球自转引起的昼夜交替变化B．随机数表中数的排列C．某交通路口每小时通过的车辆数D．某同学每天打电话的时间【解析】由周期现象的概念知A为周期现象．【答案】A上一页返回首页下一页2．与－265°终边相同的角为()A．95°B．－95°C．85°D．－85°【解析】因为－265°＝－360°＋95°，所以－265°与95°终边相同．【答案】A上一页返回首页下一页3．25°的角的始边与x轴的非负半轴重合，把终边按顺时针方向旋转2.5周所得的角是．【解析】由题意，所得的角为25°＋360°×(－2.5)＝－875°.【答案】－875°上一页返回首页下一页4．已知点P(0，－1)在角α的终边上，则所有角α组成的集合S＝.【导学号：66470001】【解析】由题意知在0～360°内对应的α＝270°，所以所有α组成的集合S＝{α|α＝270°＋k·360°，k∈Z}．【答案】{α|α＝270°＋k·360°，k∈Z}上一页返回首页下一页5．写出终边落在坐标轴上的角的集合S.【解】终边在x轴上的角的集合为S1＝{β|β＝n·180°，n∈Z}，终边在y轴上的角的集合为S2＝{β|β＝n·180°＋90°，n∈Z}．于是终边在坐标轴上的角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝n·180°，n∈Z}∪{β|β＝n·180°＋90°，n∈Z}＝{β|β＝2n·90°，n∈Z}∪{β|β＝(2n＋1)·90°