圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

24.1.2圆的对称性圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系同圆重合的两个圆OO'O等圆半径相等的两个圆同圆或等圆的半径相等圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系弧弦ABCD等弧在同圆或等中，能够互相重合的两条弧叫做等弧如图：以圆心O为顶点作一个角，这个角的两边与圆O相交，如果设这个角是∠ＡＯＢ，那么OA、OB分别与⊙O相交于点Ａ与点Ｂ顶点在圆心的角称为圆心角，把以点Ａ和点B的端点的弧AB称为圆心角∠ＡＯＢ所对的弧，把象ＯＭ这样的以圆心Ｏ到弦ＡＢ的距离称为弦ＡＢ的弦的弦心距．(OBAM┌练习：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。②O③O④O①O圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系在等圆中ABOA'B'O'这两个相等的圆心角所对的弦分别是哪两条？它们相等吗？这两个相等的圆心角所对的弧分别是哪两条？它们相等吗？用尺量一量！两位同学先作一个度数相同的圆心角！用什么方法验证的?叠合法根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，∠AOB＝∠A′OB′，射线OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，∴点A与A′重合，B与B′重合．·OAB探究·OABA′B′A′B′二、''.ABAB∴重合，AB与A′B′重合．如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？''.ABAB︵︵''.ABAB︵︵与圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系ABOA'B'O'在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等前提条件OA'ABB'DD'三、巩固应用、变式练习1、判断题，下列说法正确吗？为什么？A'OB'BA（2）在⊙O和⊙O’中，如果AB=A’B’,那么AB=A`B`.︵︵（不对）（不对）（1）如图：因为∠AOB=∠A’OB’，所以AB=A`B`.︵︵圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(1)定理：在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，所对的弦心距相等。思考定理的条件和结论分别是什么？并回答：条件：结论：在等圆或同圆中圆心角相等圆心角所对弧相等圆心角所对弦相等圆心角所对的弦心距相等演示猜想：把圆心角相等与三个结论的任何一个交换位置，有怎样的结果？圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系ABCDO在自己的圆内作两条长度相同的弦，量一量它们所对的圆心角圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系ABOA'B'O'两位同学作一条长度相同的弦，看一看它们所对的圆心角是否相同(2)推论：在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。OA'ABB'DD'在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角_____，所对的弦________；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角______，所对的弧_________．弧、弦与圆心角的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，所对的弦心距相等。相等相等相等相等同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．三、定理推论在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.●OABDA′B′D′┏如由条件:②AB=A′B′⌒⌒③AB=A′B′④OD=O′D′可推出①∠AOB=∠A′O′B′一.判断下列说法是否正确：1相等的圆心角所对的弧相等。（）2相等的弧所对的弦相等。（）二.如图，⊙O中，AB=CD,，则501.____2ODCAB12试一试你的能力×√50o如图，AB、CD是⊙O的两条弦．（1）如果AB=CD，那么___________，_________________．（2）如果，那么____________，_____________．（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________．（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？·CABDEFOAOBCODAB=CDAOBCODAB=CD四、练习CD=ABCD=ABCD=ABOE﹦OF证明：∵OE⊥ABOF⊥CD∵AB﹦CD∴AE﹦CF∵OA﹦OC∴Rt△AOE≌Rt△COF∴OE﹦OF顶点在圆心的圆心角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角，整个圆周被等分成360份，我们把每一份这样的弧叫做1°的弧。（同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）n度弧1度弧1度圆心角n度圆心角CDOAB结论：圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。1°弧的概念：证明：∴AB=AC．又∠ACB=60°，∴AB=BC=CA.∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.·ABCO五、例题AC=AB∵例1如图，在⊙O中，,∠ACB=60°,求证∠AOB=∠BOC=∠AOCAC=AB·PABCDOMN例1：如图，点O是∠EPF平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于点A、B和C、D求证：AB=CD证明：作OM⊥AB，ON⊥CD，M、N为垂足，∠MPO=∠NPOOM⊥ABON⊥CDOM＝ON∴AB＝CD∵∴∴∴∴∴·ABCDOMN变式1：•OABCDEFPMN变式2：已知：如图，⊙O的弦AB，CD相交于点P，APO=∠CPO求证：AB=CD•ABCDMNO如图M、N为AB、CD的中点,且AB=CD.求证：∠AMN＝∠CNM变式3：例2、在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的1/3，圆的半径为2厘米，求AB的长ABOC例3、已知AB和CD为⊙O的两条直径,弦CE∥AB,EC弧的度数等于40°.求∠BOD的度数。EADOBC2、已知：如图，⊙O中，AB、CD交于E，AD=BC。求证：AB=CD。EODCAB四、课堂练习1、在⊙O中，直径为10厘米，AB弧是圆的1/4，求弦AB的长。3、如图，⊙O中弦AB，CD相交于P，且AB=CD.求证：PB=PDPABCDO思考题：已知AB和CD是⊙O的两条弦，OM和ON分别是AB和CD的弦心距，如果ABCD，那么OM和ON有什么关系？为什么？圆中弧、圆心角、弦、弦心距的不等关系1、在同圆或等圆中，大弦的弦心距较小；2、在同圆或等圆中，大弧所对的圆心角也较大。二、弦、弦心距之间的不等量关系已知⊙O中，弦ABCD，OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为M，N，求证：OMONCDABOMN重要结论：若AB和CD是⊙O的两条弦，OM和ON分别是AB和CD的弦心距，如果ABCD，那么OMON。1、一条弦把圆分成3：6两部分，则优弧所对的圆心角为°.2、A、B、C为⊙O上三点，若、、的度数之比为1：2：3，则∠AOB=°，∠BOC=°,∠COA=°.3、在⊙O中，AB弧的度数为60°，AB弧的长是圆周长的。4、一条弦长恰好等于半径，则此弦所对的圆心角是度。三、基础练习：240601201801/660⌒AmB⌒BC⌒AB⌒CD6、如图，弦AB所对的劣弧为圆的,则∠AOB=.∠ACB=°31COAB5、弦长为24cm,这条弦的弦心距为cm，这条弦所对的圆心角是度，圆的半径是。34120cm38120º60三,如图，在⊙O中，AC=BD，,求∠2的度数。你会做吗?145解:∵AC=BD（已知）∴∴AB=CD∴∠1=∠2=45°（在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等）图23.1.5AC-BC=BD-BC（等式的性质）如图，AB是⊙O的直径，∠COD=35°，求∠AOE的度数．·AOBCDEBOC=COD=DOE=35180335AOE75解：六、练习∵=DECD=BC=DECD=BC小结:在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.