机器人静力学和动力学

机器人技术陶建国哈尔滨工业大学机电学院2005.2.2第六章机器人静力学和动力学静力学和动力学分析，是机器人操作机设计和动态性能分析的基础。特别是动力学分析，它还是机器人控制器设计、动态仿真的基础。机器人静力学研究机器人静止或缓慢运动式，作用在机器人上的力和力矩问题。特别是当手端与环境接触时，各关节力（矩）与接触力的关系。机器人动力学研究机器人运动与关节驱动力（矩）间的动态关系。描述这种动态关系的微分方程称为动力学模型。由于机器人结构的复杂性，其动力学模型也常常很复杂，因此很难实现基于机器人动力学模型的实时控制。然而高质量的控制应当基于被控对象的动态特性，因此，如何合理简化机器人动力学模型，使其适合于实时控制的要求，一直是机器人动力学研究者追求的目标。36.1机器人静力学一、杆件之间的静力传递在操作机中，任取两连杆，。设在杆上的点作用有力矩和力；在杆上作用有自重力〔过质心）；和分别为由到和的向径。iL1iL1iL1iO1iM1iFiLiGiCirCiriO1iOiC1iF1iM4按静力学方法，把这些力、力矩简化到的固联坐标系，可得：iLiiiioxyz111iiiiiiiCiiFFGMMrFrG1011011011110iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiCiiFRFRGMRMrRFrRG或式中(为杆的质量)。0iiGmgimiL求出和在轴上的分量，就得到了关节力和扭矩，它们就是在忽略摩擦之后，驱动器为使操作机保持静力平衡所应提供的关节力或关节力矩，记作，其大小为iFiMiziiikFikM51111110iiiiiiiiiiiiiiiFRFMrRRM当忽略杆件自重时，上式可简记为：iG若以表示不计重力的关节力或力矩值，对于转动关节则有：0i,0()jniCiijijikrGjC式中——是自到杆的质心的向径。,jiCriOjL6例1求两杆操作机的静关节力矩(坐标系与结构尺寸如图)。解：设已知789二、操作机的静力平衡设有操作机如图所示，每个关节都作用有关节力矩(广义驱动力，指向的正向)，在末端执行器的参考点处将产生力和力矩。由于、是操作机作用于外界对象的力和力矩，为了和输入关节力矩一起进行运算，故应取负值。izePieFeMeFeMi101,,,,Tin,,,,,TexeyezexeyezQFFFMMM1,,,,Tinqqqq,,,,,Teeexyzpxyz利用虚功原理建立静力平衡方程，令于是，操作机的总虚功是：根据虚功原理，若系统处于平衡，则总虚功(虚功之和)为0，即TTWqQp0TTqQp11式中J——是速度分析时引出的雅可比矩阵，其元素为相应的偏速度。由机器人运动微分关系可知，，则有pJq0TTJQq因为是独立坐标，则，所以有0qiqTJQ上式是针对操作机的关节力和执行器参考点间所产生的力和力矩之间的关系式。eP该式表明关节空间和直角坐标空间广义力可以借助于雅可比矩阵J进行变换。这种变换关系，也可推广到任两杆间固联直角坐标系中的广义力变幻，这时应将关节空间与直角坐标空间的雅可比矩阵，换作直角坐标空间的雅可比矩阵。12例2如图，操作机的手爪正在持板手扭某一哩栓，手爪上方联接一测力传感器可测六维力向量(力和力矩)。试确定测力传感器和扭动板手时力和力矩的关系。13解：设在测力传感器上置坐标系Sf()，在螺栓上置坐标系S()。在图示瞬间，两坐标系彼此平行。因为刚体的无限小位移(平移和转动)可表示为六维向量，故对二者的微位移可分别表示为：由于两坐标系的坐标轴平行，于是可以得到：fOuvwOxyz,,,,,xyzqxyz,,,,,uvwpuvw100001000010000100000010000001zyzxyxuxvyzwuxrrvyrrwzrrpJq14前式也可以从前图直观求得。设为相应于的广义力向量，为相应于的广义力向量，则可得：QqPp100000010000001000010000100001xuyvzwTxzyuzxyvyxwzFFFFFFQJPMrrMrrMMrrMM上式也可直接用虚功原理求得。15一、研究目的：1、合理地确定各驱动单元（以下称关节）的电机功率。2、解决对伺服驱动系统的控制问题（力控制）在机器人处于不同位置图形（位形）时，各关节的有效惯量及耦合量都会发生变化（时变的），因此，加于各关节的驱动力也应是时变的，可由动力学方程给以确定。6-2机器人动力学概述二、机器人动力学研究的问题可分为两类：1、给定机器人的驱动力（矩），用动力学方程求解机器人（关节）的运动参数或动力学效应（即已知,求和，称为动力学正问题。）。2、给定机器人的运动要求，求应加于机器人上的驱动力（矩）（即已知和，求,称为动力学逆问题）。,,16三、动力学研究方法：1．拉格朗日方程法：通过动、势能变化与广义力的关系，建立机器人的动力学方程。代表人物R.P.Paul、J.J.Uicker、J.M.Hollerbach等。计算量O(n4)，经优化O(n3)，递推O(n)。2．牛顿—欧拉方程法：用构件质心的平动和相对质心的转动表示机器人构件的运动，利用动静法建立基于牛顿—欧拉方程的动力学方程。代表人物Orin,Luh(陆养生)等。计算量O(n)。3．高斯原理法:利用力学中的高斯最小约束原理,把机器人动力学问题化成极值问题求解.代表人物波波夫(苏).用以解决第二类问题。计算量O(n3)。4．凯恩方程法：引入偏速度概念，应用矢量分析建立动力学方程。该方法在求构件的速度、加速度及关节驱动力时，只进行一次由基础到末杆的推导，即可求出关节驱动力，其间不必求关节的约束力，具有完整的结构，也适用于闭链机器人。计算量O(n!)。17系统的动能和势能可在任何坐标系（极坐标系、圆柱坐标系等）中表示，不是一定在直角坐标系中。动力学方程为：广义力广义速度广义坐标（力或力矩）（或）（或）iiidLLdtqqvd6.3二杆机器人的拉格朗日方程应用质点系的拉格朗日方程来处理杆系的问题。定义：L=K-PL—Lagrange函数；K—系统动能之和；P—系统势能之和。6.3.1刚体系统拉格朗日方程18设二杆机器人臂杆长度分别为，质量分别集中在端点为，坐标系选取如图。2,1dd2,1mm以下分别计算方程中各项：一、动能和势能221mvKmghp对质点：1m222111111111111()222kmvmdmd势能：动能：1111cos()pmgd（负号与坐标系建立有关）对质点：2m先写出直角坐标表达式：)cos()cos()sin()sin(212112212112ddyddx6.3.2刚体系统拉格朗日方程1119对求导得速度分量：x)2121)(2cos(212)2221221(222121222222)21)(21sin(21)1sin(12)21)(21cos(21)1cos(12ddddyxvddyddx动能：)2121)(2cos(212)2221221(22222121212212ddmdmdmK)21cos(22)1cos(122gdmgdmP势能：二、Lagrange函数1212()()LKPkkpp2222221211221122212211211()(2)cos()()22mmdmdmdd12112212()()cos()mmgdsmgd),,,(2121L20三、动力学方程先求第一个关节上的力矩2221212212222212222121211)cos()cos(2)(ddmddmdmdmdmmL222122221221222221211)]cos([)]cos(2)[(ddmdmddmdmdmmLdtd222212212212)sin()sin(2ddmddm)sin()sin()(212211211gdmgdmmL22212122212212221222[()2cos()][cos()]mmdmdmddmdmddLLdtd)(11221221221222121122122sin()sin()()sin()sin()mddmddmmgdmgd——（1）11111(()())dLLdLLdtqqdt121同理，对和微分，可求得第二关节力矩2212212222212222)cos(ddmdmdmL21221212212222212222)sin()cos(ddmddmdmdmLdtd)sin())(sin(2122212122122gdmddmL222)(LLdtd)sin()sin()]cos([2122212212222212212222gdmddmdmddmdm以上是两杆机器人动力学模型。——（2）22系数D的物理意义：—关节的有效惯量（等效转动惯量的概念）。由关节处的加速度引起的关节处的力矩为（）iiDiiiiiiDJMii—关节和之间的耦合惯量。由关节或的加速度（或）所引起的关节和处的力矩为或ijDijjijjiiijDjiji—向心力项系数。表示关节处的速度作用在关节处的向心力（）ijjDji2jijjD—向心力项系数。表示关节处的速度作用在本身关节处的向心力（）iiiDi2iiiiD四、动力学方程中各系数的物理意义将前面结果重新写成简单的形式：2211111221111122211221DDDDDD2222112222111222221212221212DDDDDDD23—哥氏力项系数。两项组合为关节与处的速度作用在关节处的哥氏力，哥氏力是由于牵连运动是转动造成的。ijkDjkijkkjijkDDjki—关节处的重力项。重力项只与大小、长度以及机构的结构图形（）有关。iDimd21,比较二杆机器人例中的系数与一般表达式中的系数得到有效惯量系数：2211121222122[()2cos()]Dmmdmdmdd22222Dmd耦合惯量系数：21221222122cos()DDmdmdd24向心力项系数：0)sin()sin(22222122112212122111DddmDddmDDD哥氏力项系数：0)sin(22212122212121112DDddmDD重力项：112112212()sin()sin()Dmmgdmgd22212sin()D