3-1-3 空间向量的数量积运算

课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律．掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题．3.1.3空间向量的数量积运算【课标要求】【核心扫描】空间向量的数量积运算．(重点)利用空间向量的数量积求夹角及距离．(难点)空间向量数量积的运算律．(易错点)1．2．1．2．3．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练1．空间向量的夹角自学导引定义记法______范围_____．当〈a，b〉＝时，_____已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角〈a，b〉[0，π]a⊥bπ2课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练想一想：〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？〈a，b〉与〈a，－b〉呢？提示〈a，b〉＝〈b，a〉，〈a，－b〉＝π－〈a，b〉．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.(2)数量积的运算律2．数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝______交换律a·b＝____分配律a·(b＋c)＝________λ(a·b)b·aa·b＋a·c课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练(3)数量积的性质两个向量数量积的性质(1)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.(2)若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；若反向，则a·b＝－|a|·|b|.特别地：a·a＝|a|2或|a|＝(3)若θ为a，b的夹角，则cosθ＝.(4)|a·b|≤|a|·|b|.a·aa·b|a||b|想一想：类比平面向量，你能说出a·b的几何意义吗？提示数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|·cosθ的乘积．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练题型一利用数量积求夹角如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．【例1】[思路探索]可先求向量OA→与BC→的夹角，再根据异面直线的夹角与向量的夹角之间的关系得出最后结果．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练解因BC→＝AC→－AB→，所以OA→·BC→＝OA→·AC→－OA→·AB→＝|OA→||AC→|cos〈OA→，AC→〉－|OA→||AB→|cos〈OA→，AB→〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝－162＋24.所以cos〈OA→，BC→〉＝OA→·BC→|OA→||BC→|＝24－1628×5＝3－225.即OA与BC所成角的余弦值为3－225.课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练规律方法在异面直线上取两个向量，则两异面直线所成角的问题可转化为两向量的夹角问题．需注意的是：转化前后的两个角的关系可能相等也可能互补．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练如图所示，已知S是边长为1的正三角形ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC＝1，M、N分别是AB、SC的中点，求异面直线SM与BN所成角的余弦值．【变式1】解设SA→＝a，SB→＝b，SC→＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，且a，b，c三个向量两两夹角均为60°，∴a·b＝b·c＝a·c＝12.∵SM→·BN→＝12(SA→＋SB→)·(SN→－SB→)＝12(a＋b)·(12c－b)课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练＝12(12a·c－a·b＋12b·c－b2)＝12(12×12－12＋12×12－1)＝－12.∴cos〈SM→，BN→〉＝SM→·BN→|SM→|·|BN→|＝－1232·32＝－23.所以，异面直线SM与BN所成角的余弦值为23.课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．题型二利用数量积求两点间的距离【例2】[思路探索]利用|AC1→|2＝AC1→2＝(AB→＋AD→＋AA1→)2求解．解因为AC1→＝AB→＋AD→＋AA1→，所以AC1→2＝(AB→＋AD→＋AA1→)2＝AB→2＋AD→2＋AA1→2＋2(AB→·AD→＋AB→·AA1→＋AD→·AA1→)．因为∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练所以〈AB→，AD→〉＝90°，〈AB→，AA1→〉＝〈AD→，AA1→〉＝60°所以AC1→2＝1＋4＋9＋2(1×3×cos60°＋2×3×cos60°)＝23.因为AC1→2＝|AC1→|2，所以|AC1→|2＝23，|AC1→|＝23，即AC1＝23.规律方法利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝a·a求解即可．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练如图，已知线段AB⊥平面α，BC⊂α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求A，D两点间的距离．【变式2】解∵AD→＝AB→＋BC→＋CD→，∴|AD→|2＝(AB→＋BC→＋CD→)2＝|AB|2＋|BC→|2＋|CD→|2＋2AB→·BC→＋2AB→·CD→＋2BC→·CD→＝12＋2(2·2·cos90°＋2·2·cos120°＋2·2·cos90°)＝8，∴|AD→|＝22，即A，D两点间的距离为22.课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练(12分)已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点．求证：OG⊥BC.题型三利用数量积证明垂直关系【例3】审题指导先由OG→＝12(OM→＋ON→)，然后用OA→，OB→，OC→表示OM→、ON→、BC→，最后证OG→·BC→＝0即可．[规范解答]连结ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，又设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，则|a|＝|b|＝|c|.2分课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练又OG→＝12(OM→＋ON→)＝12[12OA→＋12(OB→＋OC→)]＝14(a＋b＋c)，4分BC→＝c－b.6分∴OG→·BC→＝14(a＋b＋c)·(c－b)＝14(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)8分＝14(|a|2·cosθ－|a|2·cosθ－|a|2＋|a|2)＝0.10分∴OG→⊥BC→，即OG⊥BC.12分课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练【题后反思】(1)证明两直线垂直可转化为证明两直线的方向向量垂直，即证两向量数量积为零．本例证法是利用已知条件把OG→、BC→用同一组已知向量OA→、OB→、OC→表示出来，证明其数量积为0，从而使问题得证．(2)向量垂直只对非零向量有意义，在证明或判断a⊥b时，一定要指明a，b为非零向量．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练如图所示，正四面体ABCD的每条棱长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN⊥AB，MN⊥CD.【变式3】证明MN→·AB→＝(MB→＋BC→＋CN→)·AB→＝(MB→＋BC→＋12CD→)·AB→＝(MB→＋BC→＋12AD→－12AC→)·AB→＝12a2＋a2cos120°＋12a2cos60°－12a2cos60°＝0，所以MN⊥AB.同理可证MN⊥CD.课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练空间向量夹角的理解(1)任意两个空间向量均是共面的，故空间向量夹角范围同平面向量夹角范围一样，即[0，π]；名师点睛(2)空间向量的夹角在[0，π]之间，但空间两异面直线夹角在(0，π2]内，利用向量求两异面直线夹角时注意转化，两异面直线的夹角余弦值一定为非负数．平面向量与空间向量数量积的关系由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号、向量的模的概念和表示符号、以及运算律等都与平面向量相同．1．2．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练空间向量数量积的应用由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关，所以立体几何中的许多问题，如距离、夹角、垂直等问题的求解，都可借助于向量的数量积运算解决．(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，则cos〈a，b〉＝a·b|a||b|，可用来求两个向量的夹角．(2)a⊥b⇔a·b＝0，用于判断两个向量的垂直．(3)|a|2＝a·a，用于对向量模的计算，求两点间的距离或线段的长度．3．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练注意：①数量积运算不满足消去律若a，b，c(b≠0)为实数，则ab＝bc⇒a＝c；但对于向量就不正确，即a·b＝b·c(b≠0)⇒/a＝c.②数量积运算不满足结合律数量积的运算只适合交换律，分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)．这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练把空间向量转化为平面向量，把立体几何问题转化为向量问题来解决是转化与化归思想在本节中的应用．如图所示，在▱ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求线段PC的长．方法技巧转化与化归思想在立体几何中的应用【示例】[思路分析]把求线段PC的长转化为求|PC→|，再用已知向量PA→、AD→、DC→表示PC→即可．解∵PC→＝PA→＋AD→＋DC→，∴|PC→|2＝(PA→＋AD→＋DC→)2课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练方法点评把线段的长转化为向量的模是解决该类问题常用的解题方法．用已知向量表示目标向量是解决该类问题的关键．＝|PA→|2＋|AD→|2＋|DC→|2＋2PA→·AD→＋2AD→·DC→＋2DC→·PA→＝62＋42＋32＋2|AD→||DC→|cos120°＝61－12＝49.∴|PC→|＝7即PC＝7.课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练单击此处进入活页规范训练