行列式ppt

线性代数北京邮电大学理学院线性代数行列式矩阵向量代数、平面与直线向量组的线性相关性线性方程组特征值与特征向量二次型空间曲面与曲线线性空间与线性变换Ch1行列式行列式排列N阶行列式行列式的性质行列式的计算行列式展开Cramer法则行列式§1二阶与三阶行列式一、二元线性方程与二阶行列式用消元法解二元线性方程组)2(.)1(,22221211212111bxaxabxaxa时，当021122211aaaa方程组的解为，211222112122211aaaabaabx）（3.211222112112112aaaaabbax22211211aaaa21122211aaaa，211222112122211aaaabaabx.211222112112112aaaaabbax222112112221211aaaaababx222112112121112aaaababax引入记号：二阶行列式元素行标列标D=DD1DD2.12,12232121xxxx求解二元线性方程组例1解由于,07)4(31223D,14)2(12112121D,21243121232D因此,271411DDx.372122DDx三元线性方程组;,,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD0二、三阶行列式322113312312332211aaaaaaaaa312213332112322311aaaaaaaaa;,,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa3332323222131211aabaabaabD若记333231232221131211aaaaaaaaaD或321bbb231233213233221aabaabaab312233312232231aabaabaab333231232221131211aaaaaaaaaD;,,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa;,,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD得,3333123221131112abaabaabaD得;,,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD;,,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD得;,,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa.3323122221112113baabaabaaD;,,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD.3323122221112113baabaabaaD则三元线性方程组的解为:,11DDx,22DDx.33DDx333231232221131211aaaaaaaaaD,3332323222131211aabaabaabD例1解线性方程组.0,132,22321321321xxxxxxxxx解由于方程组的系数行列式111312121D1111321211111221315,0同理可得1103111221D,51013121212D,100111122213D,5故方程组的解为:,111DDx,222DDx.133DDx例2求解方程094321112xx方程左端的三阶行列式解:xxxxD9212184322652xx.320652xxxxD或，得由例3：计算行列式解：原式=-abc000***cba小结：二阶、三阶行列式概念二阶、三阶行列式计算（可用对角线法则记忆）行列式§2全排列与逆序数1.排列的相关概念n元排列:由1,2,…,n组成的一个有序数组。自然排列(标准次序)：123…n逆序：在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反逆序数：排列中逆序的总数.逆序数求法有两种（1）定义（2）每元素前有几个比它大。（常用）3251401031于是排列32514的逆序数为13010.5)1(321212nnn解,21nn)1(2......21nnt32121nnn1n2n2.排列的奇偶性逆序数为奇数的排列奇排列:逆序数为偶数的排列偶排列:njipppp.........:1对换nijpppp.........1niipppp......:11相邻对换niipppp......11定理1：对排列进行一次对换则改变排列的奇偶性推论1：奇（偶）排列调为自然排列所需的对换次数为奇（偶）数推论2：所有n元排列（n1）中奇偶排列各半行列式§3n阶行列式的定义22211211aaaa21122211aaaa一、n阶行列式的定义思考（1）有多少项(2)每一项有什么不同（3）每项符号怎么确定312213332112322311aaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa322113312312332211aaaaaaaaa＝nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211nnnppppppaaa212121...)1(）（特点：1.n2个元素2.共有n!项代数和3.每项为取自不同行不同列的元素构成4.正负项的个数相等5.当下标排列为偶排列时,取正号当下标排列为奇排列时,取负号)...(21)1(npppnnpppaaa...2121例:写出4阶行列式中带的项43342112aaaa3412aa答案：41342312aaaa例1证明n阶行列式n21其中未写出的元素都是0。n21对角形行列式;21n,212)1()1(nnn二、特殊的几类行列式计算00040030020010004321)1()4321(.240ijaji时，当下三角形行列式0ijaji时，当nnnnaaaaaaD212221110例2计算上三角形行列式nnnnaaaaaa00022211211.2211nnaaa.2211nnaaa443322118000650012404321aaaaD类似地.16085411111111111111111111211100nnnnnnnnnbbbbabbabbaa＝例3========================1三、n阶行列式的等价定义nqqqqqqnnaaa21...2121)1(）（＝nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211已知1211123111211xxxxxf.3的系数求x思考题解含的项有两项,即3x1211123111211xxxxxf4334221131241aaaat44332211(1234)1aaaa333)2(xxx.13的系数为故xCh1行列式§4行列式的性质一、行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等.行列式称为行列式的转置行列式.TDD记nnaaa2211nnaaa21122121nnaaaD2121nnaaannaaa2112TDnnaaa2211证明的转置行列式记ijaDdet,212222111211nnnnnnTbbbbbbbbbD,,,2,1,njiabijij即按定义.1121212121nppptnppptTnnaaabbbD又因为行列式D可表示为.12121nppptnaaaD故.TDD推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.性质2互换行列式的两行（列）,行列式变号.jirr性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.kknnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．性质４行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．证明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211.0性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211则D等于下列两个行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD122211111122211111例如性质６把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111njnjnjninjjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakrr)()()(1222221111111k例如例１2101044614753124025973313211D二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．jikrr32101044614753124025973313211D3解2101044614753124022010013211312rr21010446147531402020100132112101044614753124022010013211312rr23122rr442rr22200201001402035120132112220035120140202010013211144rr133rr222000100021100351201321134rr222002010021100351201321123rr26000001000211003