信号与系统(第2章)概要

1第二章线性非时变系统的时域描述（LTIsystem：lineartime-invariantsystem）2.1引言2.2-2.8冲激响应描述2.2-2.3卷积和（离散）2.4-2.5卷积积分（连续）2.6-2.8系统互联及系统特性研究2.9-2.11微分和差分方程描述2.12方框图表示2.13状态变量描述2.14-2.15Matlab探究及小结§2.1引言学习对象：线性非时变（LTI）系统学习内容：时域描述——输入和输出信号都表示为时间的函数的系统描述。——信号的时域分解；——系统的4种时域描述方法学习目的：分析、预测系统的行为；实现离散系统的计算机数值处理。1、四种描述方法:利用冲激响应进行描述：输入信号分解为时移单位冲激信号（序列）的加权叠加，输出信号是时移的系统的冲激响应的加权叠加。常系数线性微分方程或差分方程描述LTI系统的输入输出关系；方框图法：由乘法器、加法器和延迟器等基本运算单元来描述系统；状态变量描述法——不考虑系统的具体结构——需要考虑系统结构和元件的性能参数——反映系统的内部结构，并对其作用进行了功能化处理从不同的角度描述同一个LTI系统——可系统研究和设计系统的内部结构42、信号的分解——基本思想信号与系统分析的基本理论和方法对于一个线性系统，若可以把任意输入信号分解成若干个基本信号的线性组合，只要得到该系统对每一个基本信号的响应，就可以根据系统的线性特性，将系统对输入信号响应基表示为系统对基本信号的响应的线性组合。()xt()xt为常数系数。，则若iiiNiiiiiiatyatytytxtxatx)()()()(),()(1LTI系统：满足线性特性（齐次性、叠加性），非时变性。More，这种分析方法也可扩展至频域或其他变换域。52、信号的分解——需要解决的问题研究信号的分解：什么样的信号可以作为构成任意信号的基本信号单元，如何通过基本信号单元的线性组合来构成任意信号？如何得到LTI系统对基本单元信号的响应？——基本单元信号本身尽可能的简单，并且用它的线性组合可以构成尽可能广泛的其他信号。——LTI系统对这种信号的响应容易求得。6§2.2-2.3离散时间LTI系统：卷积和及计算kn,0kn,1][,][][0knknnuk例：时移冲激序列的线性组合构成阶跃信号——最简单的离散时间信号][n][][][][][knkxknnxkx一、用时移冲激序列的加权叠加表示离散时间信号任意离散时间信号x[n]均可以进行分解，即每个时间点对应的函数值都可以表示为：对不同时移位置的冲激信号的不同加权的结果。7][][][][][knkxknnxkx例：][][][knkxnxk——任意信号都可以分解为移位加权的单位冲激信号的线性组合，即时移冲激序列的加权叠加表示。][][][knkxnxk二、LTI系统的响应：卷积和•系统的响应：即输入信号经系统后的输出信号。•系统的冲激（脉冲）响应：即系统对单位冲激输入信号的输出信号。对于LTI系统，其冲激响应代表了系统的所有特性，是表征和测试LTI系统的重要方法。§2.2卷积和的概念LTI系统的输出1、任意系统的输出：]}[][{]}[{][knkxHnxHnyknn2、线性系统的输出：]}[{][]}[][{][knHkxknkxHnynknk—叠加性—齐次性—非时变性]}[{][knHknhn3、LTI系统对冲激信号的响应，简称冲激响应—卷积和][*][][][][nhnxknhkxnyk——利用时移冲激序列的加权叠加表示的任意输入信号，经过LTI系统后的输出可以表示为卷积和的形式。10三、卷积和的求解kknhkxny][][][kknkxnx][][][1、解法一kknhkxnyknhkxknhnhknhkxknkxH][][][][][][][][][][][叠加加权时移求解：例：图2.2（图解法），例题2.1（直接计算）•特点：考虑了不同时移的冲激序列的加权、叠加计算，x[n]与h[n]的所有各元素都要遍乘一次。•优点：思路直接，计算简单。•缺点：只适用于两个有限长序列的卷积和计算，否则计算非常繁琐。§2.2卷积和的概念2、解法二kknhkxny][][][kknkxnx][][][][][kwnynk][][][][][][][nynkknkhkxknkhkhkhkx时刻的输出，即得变量点的乘积值累加，消掉各）（点相乘：两函数对应）（时移反折函数不变；函数求解过程：][][][knhkxkwn定义卷积和求解的一个中间信号：——k为自变量，n做常数处理。——系统在n时刻的输出仅取决于时移量n，只需处理一个信号wn[k]。12][][][][][][][nynkknkhkxknkhkhkhkx时刻的输出，即得消掉变量点的乘积值累加各）（点相乘：两函数对应）（时移反折不变；函数函数区间发生在非零部分的交叠只nk013可分5个区间求输出信号（卷积和）的值。？的表达式会有几次变化）向右移动到最右端（）量从时间轴最左端（时移][,][kwnnkhn][][kwnynk][][][knhkxkwn1010664400nnnnn结束重合阶段：退出重合阶段：完全重合阶段：进入重合阶段：尚未重合阶段：根据两个函数非零部分的重合情况分：14——函数图形对确定卷积和计算的区间、及各区间的上下限是比较有用的。不同时间区间之间的跳变，往往发生在h[-k]表达式的跳变点经过x[k]表达式的跳变点时。§2.3卷积和的计算1、确定信号和冲激响应（函数），以冲激响应函数或信号对起始原点做反折，并根据输出信号坐标点n做平移；2、从n为负无穷开始，向时间轴的正无穷方向进行平移；3、写出中间信号wn[k]的数学表达式；4、增加时移量n时，wn[k]的数学表达式出现变化所对应n值，为性质相近区间的结束以及下一个新区间的新开始；5、对新区间中的n，重复步骤3、4，直到划分所有时间区间和确定所有的wn[k]的数学表达式；6、在每个时间区间内，对相应的wn[k]对k求和，从而获得每个坐标点n的输出信号y[n]。小结：卷积和的计算步骤说明例题：2.3移动平均系统2.4一阶递归系统2.5投资计算（实际应用）LTI[n]h[n]LTIx[n]y[n][][1][]ynynxn[][1][]hnhnn因果系统，n0,[n]=0,h[n]=0,h[0]=1,……[][]nhnun[][4][]?nxnbunyn理解x[n]，y[n]，的实际意义，掌握计算方法17§2.2-2.3卷积和及计算—作业P103：习题2.1、习题2.2(a,c,e)§2.4-2.5连续时间LTI系统：卷积积分及计算连续时间信号表示：时移单位冲激信号的加权积分dtxtx)()()(任意系统（H）的响应})()({)}({)(dtxHtxHtyLTI系统的响应：)(*)()()()}({)(thtxdthxtxHty)}({)(tHth—卷积积分一、连续时间LTI系统的冲激响应描述191.解法一：直接计算法二、卷积积分的计算dthxty)()()(dtxtx)()()(2.解法二f()th()th(-)t（a）t换为（b）反折bl-l000f()t（c）进入重合阶段b0h(t-)lf()t（d）完全重合阶段b0h(t-)l（e）退出重合阶段f()tb0h(t-)ldthxty)()()(dtxtx)()()(§2.5卷积积分的计算tlblbtbdthfbtldthfltdthftthtfblttltt0)()()()(0)()(00)()(0*f()t（c）进入重合阶段b0h(t-)lf()t（d）完全重合阶段b0h(t-)l（e）退出重合阶段f()tb0h(t-)l小结（类似p106卷积积分的计算过程的说明）①首先确定函数f(t)和h(t)取非零值的区间[a，b]和[k，l]，考虑到卷积的平移不变性，f(t)和h(t)取值区间均可从零开始，即[0，b]和[0，l]；②将h()以y轴为对称轴旋转180°，反折为h(-)；③h(-)时移为积分中的h(t-)，保持积分中f()的位置不变，将h(t-)的右端h(0)与f()的左端f(0)重合，并计算它们的乘积，得到第一个卷积积分值h(0)f(0)；④使h(t-)整体向右移动一段距离Δt后，使t=t1，计算f()与h(t1-)在[0，t1]范围内重合位置的乘积，并求这些乘积的积分（叠加），得到第二卷积积分值h(t1)*f(t1)；⑤重复步骤4，h(t-)整体向右移动i段距离Δt后，使t=ti，计算f()与h(ti-)在[0，ti]范围内重合位置的乘积，并求这些乘积的积分（叠加），得到第i+1个卷积积分值h(ti)*f(ti)；⑥最后一次移动h(t-)，使t=b+l，计算f(b)与h(l)的乘积，得到最后一个个卷积积分值f(b)h(l)；⑦将求出的所有卷积积分值按对应的坐标顺序排列在一起，形成随t坐标变化的卷积积分函数。——利用函数图形，有助于帮助确定积分区间和积分上下限。24252627例题：基本例题2.6-2.82.9雷达测距：脉冲波传播的模型2.10雷达测距：匹配滤波器()()htatLTI(t)h(t)LTIx(t)y(t)衰减系数、时间延迟量理解匹配滤波器的工作原理：输出信号峰值所在处，对应的时间t=正是关注的往返时间的延迟量的实际意义.§2.5卷积积分的计算——作业P111：习题2.4、习题2.5§2.6LTI系统的互联—卷积积分的性质)]()([)()()()()()()()(212121ththtxthtxthtxtytyty2.6.1LTI系统的并联)(1th)(2th+)(tx)(ty一个信号通过两LTI系统后的输出相加，相当于信号通过由两个LTI系统的冲激响应之和构成的总系统。说明LTI系统具有分配性。学习内容：一个互联LTI系统的冲激响应与组成这个互联系统的各LTI子系统的冲激响应之间的关系。)(tx)(ty12()()htht§2.6LTI系统的互连—卷积积分的性质)]()([)()()()()()()(12212ththtxththtxthtzty2.6.2LTI系统的级联一个信号通过第一个LTI系统后的输出信号再通过第二个LTI系统后，若等效于信号通过了一个新系统，新系统的冲激响应函数相当于前两个LTI系统的冲激响应的卷积和，而且与信号通过两个系统的前后顺序无关。说明LTI系统满足结合律和交换律。)(1th)(2th)(tx)(ty)(tz)(2th)(1th)(tx)(ty)()(21thth)(tx)(ty1221()*()()*()hthththt§2.6LTI系统的互联—作业P120：习题2.8、习题2.9(a)离散时间LTI系统及其卷积和，同时满足类似连续时间系统卷积积分的分配律、结合律和交换律特性。例2.11：4个子系统混联的等效总系统§2.7不同特性LTI系统的冲激响应2.7.1无记忆LTI系统无记忆LTI系统：其输出只与现在的输入信号有关。][][][knxkhnyk——LTI系统的特性可用其单位冲激响应进行表征。][~][nx