南京市名师课堂讲座高三――如何利用“从特殊到一般的思想”解决数列问题

如何利用“从特殊到一般的思想”解决数列问题?金陵中学河西分校杨东福问题1已知数列{an}的前6项是公差为整数的等差数列，从第5项起是等比数列，a3＝－1，a7＝4．（1）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；（2）试求所有的正整数m，使得am＋am＋1＋am＋2＝amam＋1am＋2成立．问题1已知数列{an}的前6项是公差为整数的等差数列，从第5项起是等比数列，a3＝－1，a7＝4．（1）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；（2）试求所有的正整数m，使得am＋am＋1＋am＋2＝amam＋1am＋2成立．分析：第（1）问是数列中的基本问题，设等差数列的公差为d，则a5＝－1＋2d，a6＝－1＋3d，由题意得：(－1＋3d)2＝4(－1＋2d)，d＝1，d＝59(舍去)，所以公比q＝a7a6＝2，所以an＝n－4，n≤6，2n－5，n≥7．分析：第（2）问即已知an＝n－4，n≤6，2n－5，n≥7．，求所有的正整数m，使得am＋am＋1＋am＋2＝amam＋1am＋2成立．该数列的通项公式是由两段组成的，若am是等差数列中的项，则am＋1可能也是等差数列中的项，也可能是等比数列中的项，需要进行分类，且解方程比较困难．在方程中既有整式，又有指数式．第（2）问：已知an＝n－4，n≤6，2n－5，n≥7．，求所有的正整数m，使得am＋am＋1＋am＋2＝amam＋1am＋2成立．这时，我们可以将数列中的项依次写出来，从特殊开始！看看能不能找到规律．．．．．．．．．．．．．．．，这也许是一条思路．解：（2）写出数列{an}的前几项，－3，－2，－1，0，1，2，4，8，…不难发现，从第5项起，连续三项的和要远远小于连续三项的积！（需要证明）．因此使等式am＋am＋1＋am＋2＝amam＋1am＋2成立的m的值只可能是1，2，3，4，经过计算，得m＝1或m＝3．当m≥5时，amam＋1am＋2－(am＋am＋1＋am＋2)＝2m－5×2m－4×2m－3－(2m－5＋2m－4＋2m－3)＝2m－5(22m－7－7)，因为m≥5，所以22m－7－7≥1＞0．所以m＝1或m＝3．以下证明当m≥5时，am＋am＋1＋am＋2＜amam＋1am＋2．从特殊开始进行尝试找出规律，这种“从．．．．．．．．．．．．．．．．．．特殊到一般”的思考方法是解决数列问题的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．一种有效的方法！．．．．．．．．问题2已知数列{an}的通项公式为an＝2n－7，试求所有的正整数m，使得amam＋1am＋2为数列{an}中的项．问题2已知数列{an}的通项公式为an＝2n－7，试求所有的正整数m，使得amam＋1am＋2为数列{an}中的项．分析：观察此数列的前几项，－5，－3，－1，1，3，5，7，…不难发现，从第4项起任意相邻两项的积与后一项的商是一个分数（需要证明），不可能在数列{an}中，也就是说，使amam＋1am＋2∈{an}中的m只有可能是1，2，3．通过计算可得m＝2符合要求．从特殊开始进行尝试找．．．．．．．．．．找．规律．．！．证明：当m≥4时，amam＋1am＋2＝(2m－7)(2m－5)2m－3＝2m－9＋82m－3，因为m≥4，所以2m－3是一大于或等于5的奇数，所以82m－3不是整数，故amam＋1am＋2/∈{an}．问题2已知数列{an}的通项公式为an＝2n－7，试求所有的正整数m，使得amam＋1am＋2为数列{an}中的项．从特殊开始找出规律，．．．．．．．．．．可使解题目标指向更加具体．．．．．．．．．．．．问题3是否存在公比q不等于±1的等比数列{an}，有三项成等差数列（不改变原来顺序）．若存在，试写出一个q的值；若不存在，请加以证明．问题3是否存在公比q不等于±1的等比数列{an}，有三项成等差数列（不改变原来顺序）．若存在，试写出一个q的值；若不存在，请加以证明．分析：该问题只需要找出一个等比数列中的三项成差数列即可，并不需要找出所有的．当然，若这样的数列不存在，则需要加以证明．一个很自然的想法是在常见等比数列找找看，会发现找不到，但证明却很困难(因为该问题有解，当然证明不了！)从特殊开始尝试．．．．．．．，由于三项没有限制，我们就可以考虑这三项是连续的，这三项中有两项是连续的，…．解：①若a1，a2，a3成等差数列，则a1＋a3＝2a2，即a1＋a1q2＝2a1q，解得q＝1，不符合，舍去．②若a1，a2，a4成等差数列，则a1＋a4＝2a2，即a1＋a1q3＝2a1q，解得q＝1，q＝－1＋52，q＝－1－52．所以这样的等比数列存在，当q＝－1＋52时，a1，a2，a4成等差数列．问题4已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝x(x∈N*)，an＋2＝|an＋1－an|，若数列{an}的前2010项中恰有666项为0，则x＝．分析：由于a2＝x(x∈N*)，且|an＋1－an|中an＋1－an的符号难以确定，这给研究数列{an}的项带来很大的困难．从特殊开始．．．．．，对．．a．2．＝．x．(．x．∈．N*)．．．进行赋值计算，看看．．．．．．．．．{．a．n．}．中．0．出现的个数有没有一定的规律性．．．．．．．．．．．．．．．．问题4已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝x(x∈N*)，an＋2＝|an＋1－an|，若数列{an}的前2010项中恰有666项为0，则x＝．①当a2＝1时，数列{an}为1，1，0，1，1，0，…；②当a2＝2时，数列{an}为1，2，1，1，0，1，1，0，…；③当a2＝3时，数列{an}为1，3，2，1，1，0，1，1，0，…；通过赋值计算，不难发现：①数列{an}中首次出现0随a2的增加而推后；②数列{an}从某一项起会呈现周期性(周期为3)，且在一个周期内仅有一个0．因为666×3＝1998，2010－1998＝12．同时在赋值计算中可以归纳出：x＝1时，数列{an}呈现周期性时的起始项为a1，x＝2时，数列{an}呈现周期性时的起始项为a3，x＝3时，数列{an}呈现周期性时的起始项为a4，x＝4时，数列{an}呈现周期性时的起始项为a6，x＝5时，数列{an}呈现周期性时的起始项为a7，x＝6时，数列{an}呈现周期性时的起始项为a9，x＝7时，数列{an}呈现周期性时的起始项为a10，所以本题的解为x＝8或x＝9．小结：1．观察数列中项的特点，从特殊入手找找规律是解决数列问题的一种有效的方法；2．观察出的结论需要加以证明．