第四章指数函数与对数函数学考复习介绍

第四章指数函数与对数函数4.1整数指数幂1．整数指数幂的概念当n为正整数时，n个相同因数a的相乘，记作：an，称为正整数指数幂，读作“a的n次方”，也可读作“a的n次幂”，其中，a称为底数，n称为指数；当n=0时，a0称为零指数幂；任何不等于0的数的0次幂都等于1；即a0=1形如a-n称为负整数指数幂；a-n是an的倒数正整数指数幂，零指数幂，负整数指数幂合称为整数指数幂．(0)a(0)a(0)a4.1整数指数幂2．整数指数幂运算法则整数指数幂运算法则（，，m，n为整数）：0a0bmnmnaaa)(mnmnaa)(nnnabab练习：小试牛刀：比一比，看谁算的快．巩固知识⒈整数指数幂的概念．⒉整数指数幂运算法则．课后练习4.1整数指数幂1．次根式的定义如果x2=a（），则称x为a的平方根（二次方根），记作：x=±a；如果x3=a，则称x为a的立方根（三次方根），记作：；如果xn=a（n是一个大于1的正整数），则称x为a的一个n方次根，记作：．当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数当n为偶数时，对于每一个正数a的n次方根有两个，它们互为相反数，分别用na和-na表示，可以合并写为“±（a0）”；4.2有理指数幂0a3axnax而对于每一个负数a，它的偶次方根是没有意义的；零的n次方根是零，用n0=0表示；我们把形如（有意义时）的式子称为n次根式，其中n称为根指数，a称为被开方数；性质根据n次方根的意义，可得．当为奇数时当为偶数时4.2有理指数幂na()nnaannaannaaaa(0),(0),aa【例1】求下列各式的值：1234解⑴⑵⑶⑷4.2有理指数幂33(8)2(10)44(3)2()ab()ab33(8)82(10)101044(3)332()ababba()ab2．有理指数幂的定义正数的正分数指数幂的意义是：，m，且）正数的负分数指数幂：，m，且规定了分数指数幂的意义以后，指数从整数推广到了有理数，即分数指数幂是有理指数幂．4.2有理指数幂mnnmaa(0anN1mnmnaa(0anN1)n【例2】求下列各式的值：123解⑴⑵⑶4.2有理指数幂23812100341681()2223323338(2)224121122211110100(10)10033344()33444416222327()()()()8133283()小试牛刀1【例3】化简下列各式：1234解⑴4.2有理指数幂63231.51231884()pq34(5125)5233()xyxy111633623231.51223()1221111236223(32)(23)11111(1)233662233223121111333622233311111333622231236⑵⑶⑷31884()pq318884()()pq2233ppqq34(5125)5131324(55)5113115342412455551133332323222223()()xyxyxyxyxyxy1575736622()xyxy小试牛刀2巩固知识⒈根式和分数指数幂的概念．⒉有理指数幂的定义．⒊有理指数幂的运算．课后练习4.2有理指数幂4.3幂函数a＝（a＞0），a＝（a＞0，m，nN＋，且为既约分数）.1．an＝a×a×a×…×a(n个a连乘)an1a–n＝（a≠0，nN＋），a0＝1（a≠0），1nmn√an√anmmn2．观察函数y＝x2，y＝x3，y＝x及y＝x－1．这些函数表达式的共同特征是什么？你还能举出类似的函数吗？4.3指数函数数学是打开科学大门的钥匙,轻视数学必将造成对一切知识的损害，因为轻视数学的人不可能掌握其它学科和理解万物。————弗·培根2=218=234=22xy2x2第二次第三次第x次第一次……返回球菌分裂过程…...剩余长度y一尺之木日取其半第1次后第2次后第3次后第4次后第x次后212)21(3)21(4)21(x)21(xy)21(仔细观察两个关系式的底数和指数，请问有什么发现?；xy2)1(xy)21()2(一般地，形如的函数叫做指数函数，函数的定义域是R．x其中是自变量．xay定义xy23变式练习：请问同学们下面的式子是不是指数函数？-2-1.5-1-0.500.511.52xy2xy0.350.250.71422.8311.410.5xy2011xy图象图象-2-1.5-1-0.500.511.52xy42.8321.4110.710.50.350.25011xy·(0,1)指数函数的图象和性质1.定义域:2.值域:3.过点:4.单调性:5.函数值的变化情况:当x0时,0y1.图象R；(0,+∞)；(0,1)；在R上是增函数；当x0时,y1.yx0xy2性质在R上是减函数在R上是增函数单调性过定点值域定义域图象)1(aayxR(0,+∞)（0，1)应用例1、比较下列各题中两个值的大小:35.27.1,7.1)1(2.01.08.0,8.0)2(解:2.01.08.0,8.0)2(可看作函数的两个函数值xy8.0所以指数函数在上是减函数.xy8.0R所以.8.08.02.01.0因为,2.01.0由于底数,18.0应用35.27.1,7.1)1(2.01.08.0,8.0)2(解:35.27.1,7.1)1(可看作函数在x=2.5和3时的两个函数值xy7.1由于底数,17.1所以指数函数在上是增函数.xy7.1R所以.7.17.135.2因为,35.2比较下列各组值中各个值的大小：试一试：；，）（3.25.01.31.31；）（））（（24.03.032,322小结：1.先观察底数并明确底数a与1的大小关系：2.如果底数比1大，则指数大者数值大；相反，如果底数比1小，则指数小者数值大。求下列函数的定义域（1）xy13x1解：（1）要使已知函数有意义，必须有意义,即x≠0,所以函数的定义域是xy130xx1x115xy解：要使已知函数有意义，必须有意义，即x,所以函数的定义域是【1,+∞】（2）15xy3.会比较简单的同底数指数的大小，以及会求简单指数函数的定义域。2.研究函数的一般步骤:定义→图象→性质→应用；1.数学知识点:指数函数的概念、图象和性质；4.3指数函数巩固知识课后练习练习册364.4对数的概念对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（Napier，1550年~1617年）。他发明了供天文计算作参考的对数，并于1614年在爱丁堡出版了《奇妙的对数定律说明书》，公布了他的发明。恩格斯把对数的发明与解析几何的创始，微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就。1、指数式：ab=N，a是____,b是_____,N是_____,其中a,b,N什么范围？复习回顾2、a0=__,a1=___.)0,,10(NRbaa且底数指数幂1a折纸次数x层数N2xN折纸次数和层数的关系：情境导航如果如果已经知道一共有64层，你能计算折了多少次吗？这个问题可以转化为：已知,求x.264x1234……24816……1、在23=8中，8=___,2=____,3=?2、在52=25中，25=____,5=____,2=?3、在ab=N中，N=____,a=____,b=?回答下面问题,引入对数。计算：(1)求N.23=N.(2)求a.a2=25.(a0)3823bN52ab25在ab=N中，b叫以a为底N的对数.中，中，中，中，51512193821-0233叫以2为底8的对数，0叫以1/2为底1的对数，-1叫以5为底1/5的对数，b叫以a为底N的对数，记作b=logaN.logaN记作3=log28.记作2=log39.记作0=log1/21.记作-1=log51/5.)0,,10(NRbaa且定义：一般地，如果的b次幂等于N,就是,那么数b叫做a为底N的对数，记作，a叫做对数的底数，N叫做真数。1,0aaaNabbNalog比较指数式、根式、对数式的关系此对应始终保持底数不变，转化的实质是b、N位置的变化.表达形式abN对应的运算ab=NbN=alogaN=b底数方根底数指数根指数对数幂被开方数真数乘方，由a，b求N开方，由N，b求a对数，由a，N求b对数概念小试牛刀(1)(2010年)若（），则有（）。A.B.C.D.(2)在对数式中，实数的取值范围是()。A.B.C.D.(3)当底数是81时，27的对数等于（）。A.B.C.D.Na210aa且Na2logaN2log2logNa2logaN)5(log)2(aaa25aa或52a5332aa或44a43343553折纸次数x层数N2xN折纸次数和层数的关系：如果如果已经知道一共有64层，你能计算折了多少次吗？这个问题可以转化为：已知,求x.264x1234……24816……1．常用对数：以10作底记作N10log2．自然对数：以e作底e为无理数，e=2.71828……记作子任务3：认识常用对数和自然对数试试：分别说说lg5、lg3.5、ln10、ln3的意义.Nlg指数式与对数式的互化例1把下列指数式改写成对数式,对数式改写成指数式（2）（1）变式练习：把下列指数式改写成对数式,对数式改写成指数式273ax16log2a27log3162x3125log5bNlg6412673.531m（1）（2）（3）（4）例2求下列式子中的值：（2）（1）变式练习：求下列式子中的值：x100lg2log25x解：化为指数式为,92x，或所以3-3xx，且因为10xx.3x故小练习：求下列对数值1log)2(2eln)3(3log)4(31lg)1(8log22)5(5log33)6(第一组：01lg)1(01log)2(2猜想loga1=0证明：01log,10aa，即1的对数为0.第二组：1ln)3(e13log)4(3猜想logaa=1证明：1log,1aaaa，即底数的对数为1.第三组：82)5(8log253)6(5log3猜想证明：则化为对数式为设,aalogxNNxaaloglog,Nx所以0)(NaalogNN即0)(N口答下列式子的值：1ln)1(5.0log)2(5.03log22)3(1log)4(5.310lg)5()10(,)6(7logaaaa且logaNaN对数的基本性质1.负数和零没有对数；2.“1”的对数等于零,即loga1=03.底数的对数等于“1”,即logaa=14.对数恒等式：).0(N对数性质的应用例3（1）求x的值：（2）化简求值：,1ln,x.ex.3557775log7变式练习：（2）化简求值：1)(lglog3x2log233（1）求x的值：Nab),0,10(RbNaa且2、对数的性质：3、常用对数和自然对数.logbNa4、体会“归纳猜想证明”的研究方法。(1).负数和零没有对数；(2).“1”的对数等于零,即loga1=0(3).底数的对数等于“1”,即logaa=1(4)对数恒等式：logaNaN).0(N巩固知识课后练习练习册384.5对数的运算数学来自生活，又应用于生活和生产实践．而实际问题中又蕴涵着丰富的数学知识，数学思想与方法．如刚刚学过的指数、对数函数内容在实际生活中就有着广泛的应用．今天我们就一起来探讨几个应