高三数学总复习---正弦定理和余弦定理教案

b高三数学总复习正弦定理和余弦定理教案教学目标：1、掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.2、利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点．3、常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等.教学重点：①能充分应用三角形的性质及有关的三角函数公式证明三角形的边角关系式．②能合理地选用正弦定理余弦定理结合三角形的性质解斜三角形．③能解决与三角形有关的实际问题．教学难点：①根据已知条件判定解的情形，并正确求解．②将实际问题转化为解斜三角形．教学过程一、基础回顾1、正余弦定理正弦定理：asinA＝bsinB＝csinC＝2R(其中R为△ABC外接圆的半径)．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC2、变形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(其中R是△ABC外接圆半径)②a∶b∶c＝sinA：sinB：sinB③cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.3、三角形中的常见结论(1)A＋B＋C＝π.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边：ABabsinAsinB.(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)△ABC的面积公式①S＝12a·h(h表示a边上的高)；②S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA＝abc4R；③S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)；④S＝P（P－a）（P－b）（P－c），其中P＝12(a＋b＋c)．二、基础自测1、在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝________．2、在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A＝________．3、在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若a＝2bcosC，则此三角形一定是________三角形．4、已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且a2＋b2－c2＝ab，则∠C＝________．b5、在△ABC中，a＝32，b＝23，cosC＝13，则△ABC的面积为________．三、典例分析例1(2013·惠州模拟)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a.(1)求ba；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.解：(1)由正弦定理，得asinB＝bsinA，又asinAsinB＋bcos2A＝2a，∴bsin2A＋bcos2A＝2a，即b＝2a，因此ba＝2.(2)由c2＝b2＋3a2及余弦定理，得cosB＝a2＋c2－b22ac＝（1＋3）a2c，(*)又由(1)知，b＝2a，∴b2＝2a2，因此c2＝(2＋3)a2，c＝2＋3a＝3＋12a.代入(*)式，得cosB＝22，又0＜B＜π，所以B＝π4.规律方法：1．运用正弦定理和余弦定理求解三角形时，要分清条件和目标．若已知两边与夹角，则用余弦定理；若已知两角和一边，则用正弦定理．2．在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．例2、(2013·合肥模拟)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(4，－1)，n＝(cos2A2，cos2A)，且m·n＝72.(1)求角A的大小；(2)若b＋c＝2a＝23，试判断△ABC的形状．解：(1)∵m＝(4，－1)，n＝(cos2A2，cos2A)，∴m·n＝4cos2A2－cos2A＝4·1＋cosA2－(2cos2A－1)＝－2cos2A＋2cosA＋3.又∵m·n＝72，∴－2cos2A＋2cosA＋3＝72，解得cosA＝12.∵0＜A＜π，∴A＝π3.b(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，且a＝3，∴(3)2＝b2＋c2－2bc·12＝b2＋c2－bc.①又∵b＋c＝23，∴b＝23－c，代入①式整理得c2－23c＋3＝0，解得c＝3，∴b＝3，于是a＝b＝c＝3，即△ABC为等边三角形．规律方法：判定三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行转化．无论使用哪种方法，不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．例3、(2012·课标全国卷)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋3asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.解：(1)由acosC＋3asinC－b－c＝0及正弦定理得sinAcosC＋3sinAsinC－sinB－sinC＝0.因为B＝π－A－C，则sinB＝sinAcosC＋cosAsinC.所以3sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.由于sinC≠0，所以sin(A－π6)＝12.又0Aπ，故A＝π3.(2)△ABC的面积S＝12bcsinA＝3，故bc＝4.①又a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.②由①②联立，得b＝c＝2.四、练习变式练习1：(2012·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝3acosB.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．变式练习2：在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状五、作业布置六、板书设计1、正余弦定理2、变形式3、三角形中常用结论典例分析七、教学反思