因式分解的教材分析

因式分解的教材分析塘沽十五中王守娟一、知识结构梳理定义整因提公因式法式式两项式平方差公式方法完全平方公式公式法乘分三项式十字相乘法法解多余三项的多项式分组分解法一“提”二“套”步骤三“分”四“查”二、本章在代数中的地位和作用因式分解是代数中又一种重要的恒等变形，而本章的因式分解的内容是多项式因式分解中一部分最基本的知识和基本方法，它包括因式分解的概念，整式乘法与因式分解的区别和联系；因式分解的四种基本方法，即提公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法（本书中只介绍了二次项系数为1的二次三项式的十字相乘法）多项式的因式分解是代数中一部分重要内容，它是在学完有理数和整式乘法之后给出的，它与前一章整式乘除和后一章分式联系极为密切。这部分内容在将分式通分和约分时有着直接应用，在解方程以及将三角函数进行恒等变形等方面也经常涉及到它的应用，因此本章内容对进一步学习数学有重要的作用。三、教学目标1、通过学习因式分解的概念及其与整式乘法的区别和联系，提高对代数式的辨别能力。2、学习提公因式法，了解提公因式法分解因式是乘法对加法的分配律的逆用；学习了公式法，进一步明确公式法分解因式是乘法公式的逆用。从而提高代数式的恒等变形能力。3、在小学数学中学习分解质因数是为分数运算打基础，进而计算算术应用题。同样道理，在代数中学习因式分解是为后面学习分式运算打基础，进而可以列方程解应用题，从而提高分析问题和解决问题的能力。4、通过分组分解法提高学生观察问题、分析问题、解决问题的能力。注意观察式子的结构特点，提高合理选择式子变形的方法，注意提高综合处理因式分解的能力。5、加强把一个式子看作一个字母的换元思想的练习，在因式分解时对于比较复杂的问题能够通过变形整理使之转化为所熟悉的因式分解的基本形式或把某一部分式子看作一个整体以适应某种基本方法，从而了解等价转化的思想和方法。6、寻求因式分解的方法具有探索性，要有猜想、试探、思辨的过程，所以要培养学生的探索精神和探索能力，提高解题的灵活性和创造性。四、教学重点：多项式的因式分解的四种方法。五、教学难点：多项式因式分解方法灵活多变，分组方案的筛选技巧六、教学建议1、对因式分解这一概念本人认为不宜要求学生一次了解彻底，可以通过举例及后面的几节课的因式分解过程逐步加深理解。特别是讲授四个因式分解的基本方法时，结合具体例题的分析过程、分解结果，说明因式分解的概念，以达到明确这个概念的目的。2、提公因式法是因式分解的最基本的方法，也是最常用的方法，它的理论依据是乘法分配律。在讲解时可以先复习单项式乘以多项式，再把它逆转过来运算就是提公因式法。用这个方法，首先对要分解的多项式认真观察，确定公因式是至关重要的。3、运用公式法的关键是熟悉各公式的形式和特点。对初学者来说，如何根据要分解的多项式的形式特点（项数、系数、指数）来选择用什么公式，往往不是很容易，这也是运用公式的难点。因此在教学中应注意分析实例，指明思路、交待方法，以便克服难点。4、分组分解法是前两种方法的综合。教材中分两类：一类是分组后能直接提公因式的；一类是分组后能运用公式的。由于多项式的形式各异，分组的方法也比较灵活，要具体问题具体分析，并且要预见到分组后是否能将整个多项式继续分解，相对来说分组分解法比前两种方法难，教学时要根据教材的层次，先易后难，最后讲综合性的因式分解。5、运用公式))(()(2bxaxabxbax进行因式分解，让学生注意观察该二次三项式的特征：①二次项系数为1；②常数项能分解成ab；③ba恰好为一次项系数，则一定能分解为))((bxax的形式，只有满足这样特征的二次三项式才能用它进行正确的因式分解。6、综合运用以上四种方法进行多项式的因式分解安排在本章的最后，对这部分内容的教学要根据不同的题目，进行具体分析，灵活地运用各种方法来分解因式。通过这部分内容可综合地培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力。这部分内容又是教学的难点，要从教学要求学生水平出发安排这部分的例题和练习。7、因式分解的一般步骤是总结各种分解方法后讲述的，教学时要强调结合题目的形式和特点来选择，确定采用哪种方法分解。四种方法是彼此联系的，并不是一种类型的多项式只能用一种方法来分解因式，教学时要让学生学会具体问题具体分析的方法。8、先分组分解，再最后完成整个分解的方法，既依赖于解题能力的提高，也是解题能力的培养。要认真组织学生讨论，发挥实验探索精神，养成探索习惯，以寻求分组途径，所以这种解法应在学生的研讨中产生，而不宜简单地“传授”给学生，让学生不仅享受正确分组的成功，也要经历错误分组的失败，然后从失败中走向成功。七、课时安排：§8.1提公因式法（5课时）§8.2运用公式法（8课时）§8.3分组分解法（8课时）八、具体安排：§8.1提公因式法（第一课时）引出因式分解这一概念的方法很多。本人在课前先让学生完成如下的题目（课本第7页练习）①abcabccba33（）②xmxymxmxm222232（）③babaxbaba22222239312（）④22232424343222142zyxzyxzyxzyx（）更能体会整式乘法与因式分解互为逆变形，同时也为提公因式法作准备。提公因式法分解因式的关键是确定多项式各项的公因式，即当多项式各项系数为整数时，应取各项系数的最大公约数与各项相同因式的最低次幂的积。此种方法分解的步骤是：①确定公因式，把它放在括号前。②确定另一个公因式（用提出的公因式去除原多项式，把所得的商作为另一个因式，并把它写在括号里）。安排例1、yxx3236（含一个字母）例2、cabba323128（含两个字母）例3、32222642abccabbca（含三个字母）显然例题是由易到难，这样安排符合学生的认知规律，也使学生易于掌握。（第二课时）讲解课本上的例3、xxyx632（易出现漏“1”的问题，此时可用整式乘法来检验）。补充：已知6ab，7ab，求22abba的值。分析：学生先阶段还不能从已知中求出a、b的值，因此就需要学生探索求解的方法，即先把多项式22abba分解因式得)(baab，再把7,6abab代入。（第三课时）添括号法则及例5（将多项式的后两项添括号）例6、将多项式mmm2616423分解因式（在这里又一次应用了添括号法则，即多项式的最高次项系数为负，在分解之前应先提出“－”号，再对对括号内的多项式分解因式，这样比较简单）补充：按要求对多项式2332325bababba添括号①将多项式的中间两项放到前面带有“－”的括号里；②将多项式的四次项放到前面带有“+”的括号里，二次项放到前面带有“－”的括号里。（例5之后练习）（第四课时）公因式是多项式（这里渗透换元思想）例7、把)(3)(2cbcba分解因式例8、把32)(12)(18babab分解因式（课本例9）（两个例题中括号内的多项式是相同的）（第五课时）公因式仍是多项式，但需在分解前变形，这也是学生容易错的地方。基于这样在讲例题之前让学生先完成P12的练习第1题，并通过此题的练习让学生归纳出nyx)(与nxy)(的关系：①当n为偶数时nyx)(=nxy)(②当n为奇数时nyx)(=nxy)(从而为例9、把)3()2(6xxx分解因式例10、把23)(10)(5xyyx分解因式作了铺垫。（在这里尽量让学生用不同的方法来分解）§8.2运用公式法（这种方法的关键是弄清公式的形式和特点，熟练地掌握公式）平方差公式的特点：左边：①多项式为二项式；②两项的符号相反；③每项都可化为某数（或某式）的平方形式。右边：这两个数（或式）的和与这两个数（或式）的差的积。即：（△）2－（□）2=（△+□）（△－□）（第一课时）应充分重视引例162x与2249nm的因式分解过程的分析。在讲解例题之前先完成课后练习1、练习4（判断能否用平方差公式分解，从而加深对公式的理解，同时也有助于学生逻辑思维能力的培养）。例1、把下列各多项式分解因式：（1）2251b（2）4122yx（3）6201.094nm通过例题的讲解归纳步骤①先判断能否用此公式，并确定a、b；②再套用公式分解；③化简。（第二课时）相当于公式中的a、b是多项式，又一次体现了换元的思想，分析时就可以采用换元法。例2、把下列多项式分解因式：①22)()(qxpx②22)(9)(16baba（分解时让学生注意系数、指数的变化）。（第三课时）综合运用提公因式法和公式法分解多项式（有助于培养学生分析问题能力）初次让学生体会到因式分解方法的考虑顺序是一“提”二“套”。例3、分解下列多项式：①35xx②44yx（两次运用公式，强调分解要彻底。这里又一次体现换元的思想）（第四课时）完全平方公式：公式特点：（左边）a、多项式为三项式；b、有两个平方项且同号，又能写成两数（或式）的平方形式；c、另一项是这两数（或式）的积的二倍，符号可正可负。（右边）这两数（或式）的和或差的平方形式。运用此公式的关键是会判断一个三项式是否为完全平方式即：（△）2±2*△*□+（□）2补充下面的练习：1、下列各式是否为完全平方式：①222yxyx②22244baba③222yxyx④442xx2、填空：①2224nm②222aa③222yxy完成以上练习后再讲例1把多项式1102524xx分解因式及引例962xx和252042xx的分解因式。（第五课时）例5、（首项系数为负，先提出“－”，使字母的平方项系数为正）（xyyx4422）例6、（含公因式的）22363ayaxyax（又一次体现一“提”二“套”的步骤）（第六课时）例7、把50)(20)(22baba分解因式（此题中既含有公因式2，又把ba看作整体，进一步渗透换元思想）补充：分解①222224)(yxyx②31nnxx（第七课时）补充因式分解的一些应用（如①简便计算：161962②证明数的整除：n为整数，则22)12()12(nn）能被8整除等问题）（第八课时）公式法的小结课，综合运用两个公式和提公因式法。从而培养学生观察问题、解决问题的能力。§8.3分组分解法（关键是分组后能继续分解）一）分组后直接提公因式（等项分组）分组的原则是：①可按相同的系数或相同的系数比进行分组如：多项式bxaybyax3443可有两种分组方法，（方法一）)44()33(byaybxax（也可说是按x、y分组）（方法二）)43()43(bybxayax（也可说是按a、b分组）②可根据字母的次数来分组（如233222yxxyyx可把二次项、一次项和常数项分别分组即2)33()2(22yxyxyx，当然它还有其它的分组方法这里就不介绍了）（第一课时）例1、bcacaba2例2、bxbyayax5102（第二课时）例3、bxaybyax3443例4、mmnnm552（例1~例4由同学们互相讨论寻求）二）分组后直接运用公式（第三课时）例5、ayaxyx22（还是分组后提公因式，只是前两项为一组需用平方差公式）（第四课时）例7、3223yxyyxx（启发学生用多种方法分解）（第五课时）分组分解法的小结课补充打散原有组合重新分组例如①)43(342baba，要想对它分解须先去掉括号得aabba43342，再按前面的例1那样类似地分组。②3)22)(2(22xxxx（书中这样的题目还有如P37B组的第3题、P43的第6题）三）十字相乘法形如qpxx2形式，若abq且bap则qpxx2=（ax）（bx）（第六课时）常数项为正数例8、把下列各式分解因式：（1）232xx（2）672xx（第七课时）常数项为负数例9、把下列各式分解因式：（1）22xx（2）1522xx（3）15222mxxm由此