数学物理方程与特殊函数1

数学物理方程与特殊函数第1章典型方程和定解条件的推导知之者，不如好知者，好知者，不如乐知者。做一个快乐的求知者——与大家共勉数学物理方程与特殊函数第1章典型方程和定解条件的推导数学物理方程与特殊函数☆数学和物理的关系数学和物理从来是没有分开过的哈密尔顿算子，读作delkzjyixˆˆˆ2222222zyx22222yuxuuuugradAAdivAArot拉普拉斯算子高数知识回顾：数学物理方程与特殊函数第1章典型方程和定解条件的推导数学物理方程与特殊函数☆课程的内容三种方程、四种求解方法、二个特殊函数分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法波动方程、热传导、拉普拉斯方程贝赛尔函数、勒让德函数☆数学物理方程定义描述某种物理现象的数学微分方程。数学物理方程与特殊函数第1章典型方程和定解条件的推导☆拉普拉斯方程：☆热传导方程：☆波动方程：02uuatu22uatu2222三类偏微分方程两种特殊函数贝赛尔0)(222ynxyxyx勒让德0)1(2)1(2ynnyxyx)(xJn)(xPn琴弦的振动；杆、膜、液体、气体等的振动；电磁场的振荡热传导中的温度分布；流体的扩散、粘性液体的流动空间的静电场分布；静磁场分布；稳定温度场分布数学物理方程与特殊函数第1章典型方程和定解条件的推导数学物理方程的导出•确定所要研究的物理量u，比如位移、场强、温度•根据物理规律建立微分方程•对方程进行化简，工程近似数学物理方程的提法：定解问题•微分方程（二阶偏微分方程）•具体条件（定解条件）数学物理方程与特殊函数第1章典型方程和定解条件的推导一、基本方程的建立第一章一些典型方程和定解条件的推导二、定解条件的推导三、定解问题的概念数学物理方程与特殊函数第1章典型方程和定解条件的推导一、基本方程的建立条件：均匀柔软的细弦，在平衡位置附近产生振幅极小的横振动。不受外力影响。例1、弦的振动研究对象：线上某点在t时刻沿y方向的位移。(,)uxt数学物理方程与特殊函数第1章典型方程和定解条件的推导简化假设：(2)振幅极小，张力与水平方向的夹角很小。(1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。cos1cos'1gds'MMdsxTyxdxx''T牛顿运动定律：sin'sin'TTgdsmax向：cos'cos'TTy向：(,)sintan(d,)sin'tan'uxtxuxxtx其中：数学物理方程与特殊函数第1章典型方程和定解条件的推导'TT(d,)(,)uxxtuxtTgdsmaxx22(d,)(,)(,)dduxxtuxtuxtTgxxxxt其中：ddsx22(,)mdsuxtat22(d,)(,)(,)(,)dduxxtuxtuxtuxtxxxxxxx2222(,)(,)dduxtuxtTgxxxt其中：数学物理方程与特殊函数第1章典型方程和定解条件的推导2222(,)(,)dduxtuxtTgxxxt2222(,)(,)Tuxtuxtgxt22222uuagtx………一维波动方程2Ta令：------非齐次方程自由项22222uuatx------齐次方程忽略重力作用：数学物理方程与特殊函数第1章典型方程和定解条件的推导从麦克斯韦方程出发：cv0DHJtBEtDB在自由空间：HBED00HEtHEtEHcv0,0J例2、时变电磁场数学物理方程与特殊函数第1章典型方程和定解条件的推导00HEtHEtEH对第一方程两边取旋度，)(EtH根据矢量运算：2()HHH2()HHtt222tHH由此得：得：2222222xyz拉普拉斯算子：同理可得：2221EEt——电场的三维波动方程222222221()HHHHtxyz——磁场的三维波动方程数学物理方程与特殊函数第1章典型方程和定解条件的推导例3、热传导所要研究的物理量：温度),,,(tzyxu根据热学中的傅立叶试验定律在dt时间内从dS流入V的热量为：从时刻t1到t2通过S流入V的热量为tSukQttSdˆd211高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分）tVukQttVdd2121tSnukQdddtSnukddˆtSukdˆd热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有热量从高温处流向低温处。热场MSSVn数学物理方程与特殊函数第1章典型方程和定解条件的推导tVukQttVdd2121),,,(1tzyxu),,,(2tzyxuVtzyxutzyxucQVd),,,(),,,(12221QQ流入的热量导致V内的温度发生变化2121dddd2ttVttVtVtuctVuktucuk22ukutc02ufuatu22流入的热量：温度发生变化需要的热量为：VttucVttdd2121ddttVtVtuc22au热传导方程热场MSSVn数学物理方程与特殊函数第1章典型方程和定解条件的推导有界杆上的热传导（杆的两端绝热）数学物理方程与特殊函数第1章典型方程和定解条件的推导例4、静电场电势u确定所要研究的物理量：根据物理规律建立微分方程：Eu/E)(uE/2u02u对方程进行化简：uu2/拉普拉斯方程泊松方程数学物理方程与特殊函数第1章典型方程和定解条件的推导同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即个性。初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件。二、定解条件的推导其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。数学物理方程与特殊函数第1章典型方程和定解条件的推导初始时刻的温度分布：B、热传导方程的初始条件0(,)|()tuMtMC、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件不含初始条件，只含边界条件条件A、波动方程的初始条件00|()()ttuxuxt1、初始条件——描述系统的初始状态系统各点的初位移系统各点的初速度数学物理方程与特殊函数第1章典型方程和定解条件的推导(2)自由端：x=a端既不固定，又不受位移方向力的作用。2、边界条件——描述系统在边界上的状况A、波动方程的边界条件(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：0|0,xu(,)0uat或：0xauTx0xaux(,)0xuat(3)弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k的弹簧的支承。xaxauTkux或0xauux数学物理方程与特殊函数第1章典型方程和定解条件的推导B、热传导方程的边界条件(1)给定温度在边界上的值|sufS——给定区域v的边界(2)绝热状态0sun(3)热交换状态牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。11()ddddudQkuuStkStn交换系数；周围介质的温度1k1u1SSuuun1kk第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件数学物理方程与特殊函数第1章典型方程和定解条件的推导1、定解问题三、定解问题的概念(1)初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题；(2)边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；(3)混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题。定解问题的检验•解的存在性：定解问题是否有解；•解的唯一性：是否只有一解；•解的稳定性：定解条件有微小变动时，解是否有相应的微小变动。数学物理方程与特殊函数第1章典型方程和定解条件的推导3、线性偏微分方程的分类按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和变系数微分方程按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程2、微分方程一般分类(1)按自变量的个数，分为二元和多元方程；(2)按未知函数及其导数的幂次，分为线性微分方程和非线性微分方程；(3)按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶和高阶微分方程。数学物理方程与特殊函数第1章典型方程和定解条件的推导线性方程的解具有叠加特性iifLuffiuuifLu0iLuuui0Lu4、叠加原理几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独产生的效果的累加。(物理上)xxuatu2222222222uuauxt222uuaxuxt222110uu判断下列方程的类型思考数学物理方程与特殊函数第1章典型方程和定解条件的推导5、微分方程的解古典解：如果将某个函数u代入偏微分方程中，能使方程成为恒等式，则这个函数就是该偏微分方程的解。通解：解中含有相互独立的和偏微分方程阶数相同的任意常数的解。特解：通过定解条件确定了解中的任意常数后得到的解。形式解：未经过验证的解为形式解。6、求解方法分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法