数学物理方程与特殊函数课件ppt1

0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n1Email:[e-mail]数理方程与特殊函数任课教师：杨春数学科学学院0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n2《数学物理方程》作者:李明奇、田太心购买地点：教材科0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n3参考文献[1]梁昆淼，《数学物理方法》，人民教育出版社，1998[2]沈施，《数学物理方法》，同济大学出版社，2002[3]姚瑞正，梁家宝，《数学物理方法》，武汉大学出版社，1992[4]谢鸿证，杨枫林，《数学物理方程》，科学出版社，20010.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n4[5]南京工学院数学教研组，《数学物理方程与特殊函数》，人民教育出版社，1983[6]孙振绮，《数学物理方程》，机械工业出版社，2004[7]胡嗣柱，倪光炯，《数学物理方法》，复旦大学出版社，1989[8]姜尚礼，陈亚浙，《数学物理方程讲义》，高等教育出版社，19960.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n5[9]F.W.拜伦，R.w.富勒，《物理中的数学方法》，科学出版社，1982[10]陈恕行，洪家兴，《偏微分方程近代方法》，复旦大学出版社，1989[11]王元明，管平，《线性偏微分方程引论》，东南大学出版社，20020.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n6第一章绪论一、课程意义二、物理定律与偏微分方程概念三、课程学习的基本要求四、常微分方程复习五、积分公式六、常用算子0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n7在物理学、无线电技术、自动化工程、电子工程、生物工程等众多领域中,不可避免的问题是需要研究某物理量和其它物理量之间的函数关系。要得到反映物理量之间的函数关系，将归结为所谓微分方程的布列与求解。一、课程意义数学物理方程与特殊数函数课程主要介绍一些典型的、具有物理学背景的微分方程的布列与求解。所以，数学物理方程与特殊数函数就成为多数理工科专业学生的一门重要基础性课程。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n8(一)、物理定律1、牛顿第二定律:F=maa—物体加速度;F—合外力;m—物体质量某物理量在空间和时间中的变化规律。它反映的是同一类物理现象的共同规律。物理定律是布列反映实际问题微分方程的基础，学习数理方程课程必须掌握一些典型的物理定律。二、物理定律与偏微分方程概念2、虎克定律：(1)弹簧：f=-kx(2)弹性体：p=Yux0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n93、傅立叶实验定律(热传导)：(,)ndQkuMtdSdt其中,热流密度：(,)nqkuMt4、牛顿冷却定律：热流密度：0sqkuu0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n105、热量守恒定律QQ吸放6、Coulomb定律：4qur7、静电场中的高斯定律：1SVEdSdV0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n118、焦耳—楞次定律：2QIRt9、克希荷夫定律：10nkkI(1)、节点电流定律：(2)、回路电压定律：11nnkkkkkIR0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n12如果微分方程中涉及单因素(一个自变量）,这种方程称为常微分方程；如果微分方程涉及多因素(多个自变量),这时方程中出现的导数是偏导数,相应的方程称为偏微分方程。0sin22adtd单摆:=(t)22222xuatu弦振动:u=u(x,t)(二)、常微分方程与偏微分方程0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n13(1)、波动方程定解问题：(3)、稳态场方程定解问题本课程重点讨论如下三类典型偏微分方程：(2)、热传导方程定解问题2ttuauf2tuauf()ufM0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n14(1)、贝塞尔方程：(2)、勒让德方程：本课程重点讨论如下两类典型常微分方程：22222()0dydyxxxnydxdx22212(1)0dydyxxnnydxdx0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n15三、课程学习的基本要求(1)、理解数学物理方程中出现的基本概念；(2)、能正确写出典型物理问题的方程与定解条件；(3)、了解定解问题解的物理意义；(4)、熟练掌握三类典型偏微分方程定解问题的如下典型解法：分离变量法；行波法；积分变换法；格林函数法。考试重点：定解问题求解(统考,考教分离)。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n16四、常微分方程复习1.可分离变量的一阶微分方程。()()fxdxgydy()dyyfdxx2.齐次方程基本形式为：3.一阶线性微分方程基本形式为：()()ypxyqx()()0.fxyydxgxyxdy例1求方程通解,xyu令,ydxxdydu则,0)()(xydxduxugydxuf,0)()]()([duugdxxuuguf,0)]()([)(duugufuugxdx.)]()([)(||lnCduugufuugx通解为解0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n18例2求一曲线，使得在其上任一点P处的切线在y轴yxP(x,y)o解设点P的坐标为（x,y）所求曲线为y=f(x),切线上的动点为(X，Y)，则过点P的切线方程为：,YyyXx令X=0得,yyxy0切线与轴的距离为Y由题意可得22yxyxy上的截距等于原点到点P的距离.0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n190,x若方程为21.yyyxx,,yuyxuyuxux令则有21dudxxu分离变量222.xuxxuC解得0yuxx将代回上式,得当时的通解为若x0,方程为22221,.yyyyxyCxxx其通解为-22.yxyC0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n20例3求微分方程的通解.yxyyyysin2sincoscos解yyxyydydxcossin2sincos,tan2sinyxy,2sintanyxydydxCdyeyexyycoslncosln2sinCdyyyyycoscossin2cos.cos2cosyCy0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n214.贝努里方程：()()nypxyqxy5.可降阶的二阶微分方程：(,)yfxy(,)yfyy0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n22.42的通解求方程yxyxdxdy,412xyxdxdyy,yz令,422xzxdxdz,22Cxxz解得.224Cxxy即解y两端除以，得例40.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n23例5求微分方程21xyxy满足初始条件10,11yy的特解.,,yyp解此方程不显含作代换21xpxp其通解为11121dxdxxxpeedxCx11,y由代入上式11lndyxdxxx2100yC11.C得方程特解21lnln.2yxx221lnln2yxxC11ln.Cxxx积分0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n24.02的通解求方程yyy解,dpypdy则),(ypy设代入原方程得20,dpyppdy例60,0ypp当时,约去并分离变量得dpdypy=,11,dypCyCydx两边积分并化简得即=,0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n25分离变量得1dyCdxy0,0，0dyypyCdx当时即也是原方121.0，CxyCeC程的解但在通解中,显然时22,0，0.yCCy给出了又再当时包含了12，0.CxyyCyCe因此和都包含在了通解中12.CxyCe0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n26()(1)(2)121()()()()()nnnnnyaxyaxyaxyaxyfx()(1)(2)121()()()()0nnnnnyaxyaxyaxyaxy()(1)(2)1210nnnnnyayayayay线性微分方程0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n277.二阶常系数非齐次线性微分方程的特解()ypyqyfxf(x)的两种类型：)()(xPexfmx()[()cos()sin]xlnfxePxxPxx0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n28*(),kxmyxeQx设是重根是单根不是根2,10k上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性注意微分方程（k是重根次数）.1()xmypyqyePx、0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n292()[()cos()sin]xlnfxePxxPxx、型利用欧拉公式：的特解形式为(1)(2)*[()cos()sin]kxmmyxeRxxRxx次多项式，是其中mxRxRmm)(),()2()1(nlm,max01iki不是根,是根.0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n30例7求微分方程243cos3xyyyxex的通解.430yyy解对应齐次方程12rr=1,=3.2,3,23ii不是特征方程的根.*2cos3sin3xyeaxbxcxdx***2,,xyyye将代入原方程并消去可得:312.xxYCeCe齐次方程的通解为2430,rr0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n311010cos310610sin3cos3.axbbcxcxadxxx*23cos3sin3.1050xxyexx1101,10100,0,100,0,6100.3.50aabbcbccadd解得比较系数可得*32123cos3sin3.1050xxxxyYyCeCeexx通解:0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n32例8求微分方程31cos2yyxx的一个特解.解此方程属()[()cos()sin]xlnfxePxxPxx型.(031,()0).lnPxxPx=,=2,21,210,.rri特征方程的根其特征