第二讲 单自由度系统自由振动

2018曹曙阳同济大学土木学院土木工程防灾国家重点实验室高等结构动力学惯性力课程回顾动力自由度广义坐标结构动力计算：全部时间点上的系列解为确定体系任一时刻全部质量的几何位置所需要的独立参数的数目振动方程和离散第二讲单自由度系统自由振动基本动力方程无阻尼自由振动阻尼自由振动阻尼作用与测量基本动力方程()()()()IDsftftftpt++=()Ift:Inertialforce惯性力()()Iftmvt=ɺɺ()Dft:Dampingforce阻尼力()()Dftcvt=ɺ()sft:Springforce弹性力()()sftkvt=()pt:Appliedforce强迫力()()()()mvtcvtkvtpt++=ɺɺɺ()()()()mvtcvtkvtpt++=ɺɺɺ水平运动单自由度水平运动单自由度计算图式()()Iftmvt=ɺɺ质体受力：()()Dftcvt=ɺ()()sftkvt=()pt向左向右基本动力方程考虑重力影响单自由度计算图式重力影响单自由度()()Iftmvt=ɺɺ质体受力：()()Dftcvt=ɺ()()sftkvt=()pt向上向下W()()()()mvtcvtkvtptw++=+ɺɺɺ基本动力方程考虑重力影响单自由度计算图式重力影响单自由度（续）基本动力方程()()()()mvtcvtkvtptw++=+ɺɺɺ()()stvtvt=Δ+()()()sstftkvtkkvt==Δ+振动方程：重力影响单自由度（续）基本动力方程()()()()stmvtcvtkkvtptW++Δ+=+ɺɺɺ∵∴()()()()mvtcvtkvtpt++=ɺɺɺ∴()()()()mvtcvtkvtpt++=ɺɺɺ()()stvtvt=−Δ实际应用：车辆振动作用＝静位移＋动位移桥梁风振作用＝平均风＋脉动风stkWΔ=()()tvtν=ɺɺɺɺ()()vtvt=ɺɺ∵支座激励单自由度()()()0IDsftftft++=()()tIftmvt=ɺɺ()()Dftcvt=ɺ()()sftkvt=惯性力是由总加速度贡献阻尼力是由相对速度贡献弹性力是由相对位移贡献基本动力方程考虑支座激励单自由度计算图示支座激励单自由度（续）基本动力方程()()()0tmvtcvtkvt++=ɺɺɺ()()()tgvtvtvt=+ɺɺɺɺɺɺ∵()()()()0gmvtmvtcvtkvt+++=ɺɺɺɺɺ∴()()()()()geffmvtcvtkvtmvtpt++=−≡ɺɺɺɺɺ实际应用：地震地面运动输入作用第二讲单自由度系统自由振动基本动力方程无阻尼自由振动阻尼自由振动阻尼作用与测量()()()()IDsftftftpt++=()()0mvtkvt+=ɺɺ()0pt≡无阻尼自由振动()Ift:Inertialforce惯性力()()Iftmvt=ɺɺ()Dft:Dampingforce阻尼力()0Dft=()sft:Springforce弹性力()()sftkvt=()pt:Appliedforce强迫力无阻尼自由振动微分方程：初始条件：()()0mvtkvt+=ɺɺ自由振动:结构振动不是由于外部能量输入而是由于初始干扰能量输入p(t)=0；无阻尼：不考虑能量耗散阻尼机制c=000(0);(0);ttvvvv====ɺɺ00(0);(0);ttvvvv====ɺɺ基本方程无阻尼自由振动常微分方程的解具有如下形式：代入方程可得：s可由如下特征值方程求得：上式的解为：2()0stmskAe+=20msk+=12,nnsisiωω==−nkmω=方程求解()stutAe=()=+=+方程解的三角函数形式：tωBtωAtvnnsincos)(+=式中A、B为常数，由初始条件确定无阻尼自由振动初始条件解()cossinvtAtBtωω=+00(0);(0);ttvvvv====ɺɺ[]22(0)(0)vvρω=+ɺ00(0)(0)ttnvvAvvBω======ɺɺ(0),(0)nAvvBω==ɺ由：得：单自由度系统无阻尼自由振动为以ω为频率的简谐振动振动峰值为：122kfmωππ==12Tfπω==无阻尼自由振动()cos()vttρωθ=+[]22(0)(0)vvρω=+ɺ1(0)tan(0)vvθω−−=ɺ无阻尼自由振动解初始条件解（续）第二讲单自由度系统自由振动基本动力方程无阻尼自由振动阻尼自由振动阻尼作用与测量()()()()IDsftftftpt++=()0pt≡阻尼自由振动()Ift:Inertialforce惯性力()()Iftmvt=ɺɺ()Dft:Dampingforce阻尼力()()Dftcvt=ɺ()sft:Springforce弹性力()()sftkvt=()pt:Appliedforce强迫力()()()0mvtcvtkvt++=ɺɺɺ阻尼自由振动微分方程：特征方程：()()()0mvtcvtkvt++=ɺɺɺ20mscsk++=221,222ccsmmω=−±−00(0);(0);ttvvvv====ɺɺ初始条件：通解形式：()stutAe=阻尼自由振动解决定因素：220020cmω=−临界阻尼状态低阻尼的状态高阻尼的状态阻尼自由振动临界阻尼：222crccmmkmωω===122crcssmω==−=−()()exp()vtABttω=+−系统处于发生振动的临界点临界阻尼状态2202cmω−=特征方程重根：基本方程通解：临界阻尼由结构刚度和质量决定A、B为常数，由初始条件确定阻尼自由振动临界阻尼条件下的自由振动初始条件解：[]()(0)(1)(0)exp()vtvtvttωω=−+−ɺ临界阻尼状态（续）指数衰减：随时间的增加逐步衰减到零，回复到静平衡位置，不出现往复振动临界阻尼：不出现往复振动所需的最小阻尼值阻尼自由振动低阻尼条件：222ccmmkmωω=()[exp()exp()]exp()DDvtAitBittωωξω=+−−系统处于围绕平衡位置的振动2202cmω−阻尼比定义：基本方程通解：2crcccmξω≡=1,2Dsiξωω=−±特征方程根：21Dωωξ≡−低阻尼状态阻尼自由振动基本方程通解指数形式：三角函数：[]()cossinexp()DDvtAtBttωωξω=+−(0)(0)(0);DvvAvBξωω+==ɺ三角函数：()cos()exp()Dvtttρωθξω=+−1222(0)(0)(0)Dvvvξωρω+=+ɺ1(0)(0)tanDvvξωθω−+=−ɺ低阻尼状态（续）[]()exp()exp()exp()DDvtAitBittωωξω=+−−阻尼自由振动()cos()exp()Dvtttρωθξω=+−1222(0)(0)(0)Dvvvξωρω+=+ɺ1(0)(0)tanDvvξωθω−+=−ɺ低阻尼状态（续）阻尼自由振动解21Dωωξ≡−振幅衰减的振动过程阻尼自由振动高阻尼条件：222ccmmkmωω=系统从初始位置直接到平衡位置基本方程通解：特征方程根：2ˆ1ωωξ≡−[]ˆˆ()sinhcoshexp()vtAtBttωωξω=+−(0)(0)(0);ˆvvAvBξωω+==ɺ高阻尼状态21,2ˆ1sξωωξξωω=−±−=−±2202cmω−第二讲单自由度系统自由振动基本动力方程无阻尼自由振动阻尼自由振动阻尼作用与测量阻尼作用与测量基本方程：()()()0mvtcvtkvt++=ɺɺɺ[]()cossinexp()DDvtAtBttωωξω=+−方程通解:振动阻尼:22221cccccmmkcccωξπξδξ===−—阻尼系数＝—阻尼比—对数衰减率{阻尼作用与测量阻尼振动解：频率比与阻尼比：Dcccωξω⇔=(0)(0)()(0)cossinexp()DDDvvvtvtttξωωωξωω+=+−ɺ阻尼作用阻尼对自振频率的影响阻尼衰减振动阻尼作用与测量阻尼比计算：两边取对数：近似阻尼比：12expnnDvvπξωω+=12ln221nnvcvmfπξδπξξ+≡=≈=−()()21(2)expexp2122!nnvvπξδπξπξ+=≈=+++⋯112nnnvvvξπ++−≈:0.0050.0314:0.0100.0628:0.0200.1256ξδξδξδ===钢结构或＝组合结构或＝混凝土或＝阻尼测量δ:对数衰减率阻尼作用与测量阻尼比测量：振幅衰减50％：22ln1nnmvmvπξξ+=−0.100:10.050:20.025:4ξξξ===周周周2nnmnmvvmvξπ++−≈阻尼测量（续）小结基本动力方程：惯性力＋阻尼力＋弹簧力＝外力结构重力影响支座激励影响无阻尼自由振动常微分方程求解：复数解、三角函数解、指数解振动基本方程，特征方程物理意义：a.以自振频率ω为振动频率的简谐振动b.结构振动由初始能量输入导致c.由于无能量耗散，质体将永不停止地振动下去小结阻尼自由振动振动方程振动状态：临界阻尼、低阻尼、高阻尼阻尼振动：阻尼作用与测量阻尼表示：阻尼系数c、阻尼比ξ、对数衰减率δ阻尼作用：简谐振动衰减阻尼测量：利用对数衰减率(0)(0)()(0)cos()sin()exp()DDDvvvtvtttξωωωξωω+=+−ɺ下周同一时间再见!