教材例题画法几何

例2-1：已知点A的水平投影a和正面投影a’，求其侧面投影a”，如图2－9(a)所示。分析：由点的投影规律得知，点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴，故a”必在过a’所作的OZ轴的垂线（OX轴的平行线）上。又知点的侧面投影到OZ轴的距离等于水平投影到OX轴的距离，即a”az=aax。因此，只要在过a’对OZ轴所作的垂线上截取aza”＝aax，即可得a”。例2-2：已知点B的正面投影b‘和侧面投影b”，求其水平投影b，如图2—10（a）所示。例2－3：已知点A的坐标为（20、10、15），求作点A的三面投影a、a’和a”。分析：从点A的三个坐标值可知，点A到W面的距离为20，到V面的距离为10倒H面的距离为15。根据点的投影规律和点的三面投影与其3个坐标的关系，即可求得点A的3个投影。例2－4：在图2—13（a）所给出的三投影面体系中，画出点A（20，12，15）的三面投影及点A的空间位置。例2-5：过点A向右上方作一正平线AB，使其实长为25，与H面的倾角α=300，如图2-19（a）所示。分析：由正平线的投影特性可知，正平线的正面投影反映实长，它与OX轴的夹角反映直线对H面的倾角α，故本题只有一个解。例2-6：已知直线AB的正面投影a’b’和点A的水平投影a，并知AB=25，求AB的水平投影ab及AB对V面的倾角β，如图2-23(a)所示。分析：由点的投影规律可知，b应在过b’所作的OX轴的垂线上，因此只要求出AB两点的y坐标差，即可确定b。根据直角三角形法的原理，以a’b’为一直角边。以25为斜边作一直角三角形，它的另一直角边即为AB两点的y坐标差，y坐标差所对的角即为AB对V面的倾角β。本题有两个解。例2-7:已知直线AB的水平投影ab和点A的正面投影a’，并知AB对H面倾角为300，求:AB的正面投影a’b’。分析：由于点A的正面投影a’（即其z坐标）已知，所以只要求出A、B两点的z坐标差，即可确定点B的正面投影b’。由上述直角三角形法的原理可知，以ab为一直角边，作一锐角为300的直角兰角形，则300角所对的直角边，即为A、B两点的Z坐标差。例2-8：根据图2－26（a）所示，在直线AB上找一点K，使AK：KB=3：2分析：由上述投影特性可知，AK：KB=3：2，则其投影ak：kb=a’k’：k’b’＝3：2。因此，只要用平面几何作图的方法，把ab或a’b’为3：2，即可求得点K的投影。例2－9：判定点K是否在侧平线AB上（图2－27a〕。分析：由直线上点的投影特性可知，如果点K在直线AB上，ak：kb=a’k’：k’b’，因此，可用这一等比关系来判定K是否在直线AB上。另外，如果点K在直线AB上，则k”应在a”b”上。所以，也可作出它们的侧面投影来判定。例2-10：已知：直线AB和CD相交于点K，并知AK：KB=1：2，根据图给的投影，求AB的正面投影a’b’和CD的水平投影cd分析：由直线上的点分线段为定比的性质可知，若AK：KB=1：2，则ak：bk也必等于1：2，由此可求得交点K的水平投影。又因交点K是两直线AB和CD的公有点，故k’必在c’d’上。点C的水平投影和点B的正面投影分别位于dk和a’k’的延长线上。例2-11：已知矩形ABCD的一边AB平行于H面，根据图给的投影，完成该矩形的两面投影。分析：因矩形的两边AB⊥AC，又知AB∥H面，故ab⊥ac。又因矩形的对边互相平行，所以ab∥cd，a’b’∥c’d’；ac∥bd，a’c’∥b’d’。据此即可完成该矩形的投影。例2—12：过点C作直线CD与正平线AB相交垂直。分析：已知CD⊥AB，其中AB平行于V面，故其正面投影c’d’⊥a’b’，由此即可确定CD的投影c’d’和cd。例2-13:在两相交直线AB和CD所决定的平面内，另外任取两条直线（图2-47（a））。分析：根据直线在平面内的几何条件，可在AB和CD上分别取一点M、N，则M、N连线必在该平面内；再过AB或CD上的任一点作一直线平行于CD或AB，则该直线也必在该平面内。例2－14已知ΔABC内点K的水平投影k，求其正面投影k’（图2-48（a））。分析：点K在ΔABC内，它必在该平面内的一条直线上，k和k’应分别位于该直线的同面投影上。因此，欲求点K的投影，须先在西ABC内作出过点K的辅助线的投影。例2-15：判定点K是否在两平行直线AB和CD所决定的平面内（图2－49（a））。分析：如果点K在给定的平面内，它必在该平面内的一条直线上。因此，只要通过点K的某一投影在（或k‘），在给定的平面内作一条直线的投影，看点K的另一投影k’（或k）是否在该直线的同面投影上，即可判定点K是否在所给定的平面内。例2—16：已知平面四边形ABCD的水平投影abcd和正面投影a’b’d’，完成该四边形的正面投影见图2—50（a）。分析：因为ABCD为一平面四边形，所以点C必在ABD所决定的平面内，因此点C的正面投影C’可运用在平面内取点的方法求得。例2—17：在两平行直线AB、CD所决定的平面内，作一距H面为15的水平线，如图(2-52(a))分析：水平线的正面投影平行于OX轴，它到OX轴的距离，反映水平线到H面的距离，虽然平面内所有的水平线，其正面投影都平行于OX轴，但距OX轴为15的只有一条，故应先作其正面投影，再求其水平投影。例2-18:过ΔABC的顶点B，作该平面内的正平线见图2-53（a）。分析：由直线在平面内的几何条件可知，过顶点B作直线L，平行于西ABC的一条直线，则直线L必在该平面内。如果所作的直线L，平行于ΔABC的一条正平线，则直线L即为该平面内过顶点B的正平线。因此，欲过顶点B作该平面内的正平线，须在ΔABC内先任作一条正平线。例2—19：求ΔABC（alc，a’b’c’）与H面的倾角，见图2一55（a）。分析：ΔABC与H面的倾角，就是该平面的最大坡度线与H面的倾角。因此，只要求出该平面的最大坡度线的两个投影，然后利用直角三角形法，即可求得最大坡度线与H面的倾角α。例2－20包含点A（a，a‘）作一用迹线表示的铅垂面P，且与V面的倾角为300［图2-56（a）］。分析：因为铅垂面的水平迹线有积聚性，所以PH必通过点A的水平投影a；又因水平迹线与OX轴的夹角，反映该平面与V面的倾角，故PH的方向可定。例2－21：包含水平线AB作一与H面倾角为300的平面，见图2—57（a）。分析：平面对H面的倾角α，就是该平面最大坡度线与H面的倾角；最大坡度线又与平面内的水平线垂直；因此只要作一条与AB相交垂直、且与H面成300角的直线（即为所求平面的最大坡度线），该直线与AB所决定的平面，即为所求的平面。例3-1：过点A作一水平线AB，与ΔCDE平行，见图3-2（a）。分析：ΔCDE（Δcde，c’d’e’）的空间位置一经给定，该平面水平线的方向也就随之而定。虽然过点A可作无数条水平线，而与ΔCDE平行的直线只有一条，它必与ΔCDE内的水平线平行。例3-2:判定直线AB与ΔCDE是否平行（图3-3（a））。分析：由直线与平面平行的几何条件可知，如果AB∥ΔCDE，则在西CDE内必能作出与AB平行的直线，否则AB不平行于ΔCDE。例3－3：判定直线AB与正垂面P是否平行（图3-4）分析判定：正垂面P内的所有直线（包括水平投影与ab平行的直线）的正面投影，都积聚在Pv上。因为题中给出a’b’∥Pv，故可以判定直线AB与正垂面互相平行。例3－4:求直线AB与铅垂面P的交点K，并判定投影的可见性(3－6（a）)。分析：因为交点K是直线AB与铅垂面P的公有点，铅垂面P的水平投p有积聚性，所以直线AB的水平投影ab与p的交点k，即为AB与平面P交点K的水平投影。例3-5：求正垂线AB与ΔCDE的交点，并判定投影的可见性，参见图3-7（a）。分析：由于交点是直线上的点，而正垂线的正面投影有积聚性，所以交点的正面投影与正垂线的正面投影重合。又因交点也是平面上的点，故可用在平面内取点的方法，求交点的水平投影。例3-6：求直线AB与ΔCDE的交点，并判定投影的可见性，见图3－9（a）。例3－7：求图3-10（a）所示的直线AB与ΔCDE的交点，并判定投影的可见性。例3-8：过点M作直线MN垂直于ΔABC，并求其垂足，如图3-12（a）所示。例3-9：过点A作平面与直线MN垂直（图3-13（a））。分析：由直线与平面垂直的几何条件可知，只要过点A作两条相交直线均与MN垂直，则这两条相交直线所决定的平面，既包含点A，又与MN垂直。例3-10：判定图3-14（a）所示的直线AB与平面P是否垂直。分析：如果AB⊥P，则AB的水平投影ab，必垂直于平面P内水平线的水平投影；同时AB的正面投影a’b’，必垂直于平面P内正平线的正面投影。例3-11：判定图3-15所示的直线AB与铅垂面P是否垂直。分析判定：因为铅垂面P内水平线的水平投影，与它的水平投影p重合；铅垂面内平行于V面的直线，又只能是铅垂线；所以与铅垂面P垂直的直线，一定是水平线，而且其水平投影与平面的水平投影（有积聚性）垂直。从图中可以看出，虽然ab⊥P，但a’b’不平行于OX轴，故直线AB与铅垂面P不垂直。同理，与正垂面垂直的直线，一定是正平线，而且其正面投影与正垂面的正面投影垂直，由此可判定，直线与正垂面是否垂直。例3-12：过点A作一平面，与两条平行线DE和FG所决定的平面平行，如图3-17。分析：由两平面互相平行的几何条件可知，只要过点A作两条相交直线，与已知平面内的两条相交直线对应平行（其同面投影都对应平行），则过点A的这两条相交直线所决定的平面，必与已知平面平行。例3-13：判定图3-18（a）所示的ΔABC与ΔDEF是否平行。分析：如果ΔABC∥ΔDEF，则在ΔDEF内必能作出两相交直线，与ΔABC的两边对应平行（其同面投影都对应平行），否则ΔABC不平行于ΔDEF。例3-14：求图3－21(a)所示的铅垂面P与ΔABC的交线，并判定其投影的可见性。例3-15：求图3－22(a)所示的正平面ΔABC与铅垂面P的交线，并判定其投影的可见性。例3-16：求图3—23（a）所示的ΔABC与水平面P的交线，并判定其投影的可见性。例3-17：求图3－25（a）所示的ΔABC与ΔDEF的交线，并判定其投影的可见性。分析：为了作图简便起见，求交点时所选的直线，最好与相交平面的各投影都有重影部分（因为只有这样的直线与平面的交点，才有可能在平面图形的范围之内），如DE、DF与ΔABC的两投影，以及AC与ΔDEF的两投影都有重影部分，所以宜在DE、DF和AC中任选两条，求与另一平面的交点。例3-18：求图3－26（a）所示的ΔABC与ΔDEF的交线，并判定其投影的可见性例3-19：求图3-28（a）所示的ΔABC与ΔDEF的交线。例3-20：包含直线MN作一平面，与ΔABC垂直，如图3-30（a）所示。分析：由两平面垂直的几何条件可知，只要过直线MN上的任一点，作一条直线与ΔABC垂直，则这两条相交直线所决定的平面必与ΔABC垂直。例3－21：判定图3-31（a）所示的平面P与ΔABC是否垂直。分析：由两平面垂直的几何条件可知，如果P⊥ΔABC，则在ΔABC内必包含平面P的垂线。因此，欲判定P与ΔABC是否垂直，可过ΔABC内的任一点作平面P的垂线，然后根据直线在平面内的几何条件，判定该垂线是否在ΔABC内。例3-22：判定图3-32（a）所示的ΔABC与铅垂面P是否垂直。分析：由于与铅垂面垂直的直线只能是水平线，所以欲判定ΔABC与铅垂面P是否垂直，只要看ΔABC内的水平线的水平投影，与铅垂面的水平投影p是否垂直即可。综合性问题例3-23：如图3-33（a）所示，过点M作一直线MN与ΔABC平行。并与直线KL相交。分析：图3-33（a）过点M可作无数条直线与ΔABC平行。这些直线的轨迹，是过点M，且与ΔABC平行的平面Q；平面Q内的所有直线，都与ΔABC平行。而在平面Q内过点,与M相交的直线，只能是直线KL与平面Q的交点N和点M的连线。例3-24：已知直角ΔAB