数学中的恒成立与有解问题

数学中的恒成立与有解问题一、恒成立问题若不等式Axf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上minfxA若不等式Bxf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上maxfxB常用方法1、分离变量法；2、数形结合法；3、利用函数的性质；4、变更主元等；1、由二次函数的性质求参数的取值范围例题1.若关于x的不等式2220axx在R上恒成立,求实数a的取值范围.解题思路：结合二次函数的图象求解解析：当0a时,不等式220x解集不为R,故0a不满足题意;当0a时,要使原不等式解集为R,只需202420aa,解得12a综上,所求实数a的取值范围为1(,)22、转化为二次函数的最值求参数的取值范围例题2：已知二次函数满足(0)1f，而且(1)()2fxfxx，请解决下列问题（1）求二次函数的解析式。（2）若()2fxxm在区间[1,1]上恒成立，求m的取值范围。解题思路：先分离系数,再由二次函数最值确定取值范围.解析：(1)设2()(0)fxaxbxca.由(0)1f得1c,故2()1fxaxbx.∵(1)()2fxfxx∴22(1)(1)1(1)2axbxaxbxx即22axabx,所以22,0aab,解得1,1ab∴2()1fxxx(2)由(1)知212xxxm在[1,1]恒成立,即231mxx在[1,1]恒成立.令2235()31()24gxxxx,则()gx在[1,1]上单调递减.所以()gx在[1,1]上的最小值为(1)1g.所以m的取值范围是(,1).规律总结：()mfx对一切xR恒成立,则min[()]mfx;()mfx对一切xR恒成立,则max[()]mfx；注意参数的端点值能否取到需检验。二、有解问题3、方程的有解问题例题3：题干与例题2相同（1）同例题2.（2）若()2fxxm在区间[1,1]上恒成立，求m的取值范围。解题思路：先分离系数,再由二次函数值域确定取值范围.解析：(1)解法同例题2(2)由(1)知212xxxm在[1,1]恒成立,即231mxx在[1,1]恒成立.令2235()31()24gxxxx,则()gx在[1,1]上单调递减.所以()gx在[1,1]上的最大值为(1)5g，最小值为(1)1g，所以m的取值范围是1,5。规律总结：若方程()mfx在某个区间上有解只需求出()fx在区间上的值域A使mA。4、不等式的有解问题例题4题干与例题2相同（1）同例题2.（2）若()2fxxm在区间[1,1]上有解，求m的取值范围。解题思路：先分离系数,再由二次函数最值确定取值范围.解析：(1)解法同例题2(2)由(1)知212xxxm在[1,1]有解,即231mxx在[1,1]有解令2235()31()24gxxxx,则()gx在[1,1]上单调递减.所以()gx在[1,1]上的最大值为(1)5g.所以m的取值范围是(,5)。.规律总结：()mfx在区间,ab内有解,则max()mfx;()mfx在区间,ab内有解,则min()mfx；注意参数的端点值能否取到需检验。一、确定“主元”思想常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量．例1.对于满足04p的一切实数p，不等式x2+px4x+p-3恒成立，求x的取值范围．分析：习惯上把x当作自变量，记函数y=x2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p4,0时y0恒成立，求x的范围．解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的．若把x与p两个量互换一下角色，即p视为变量，x为常量，则上述问题可转化为在[0,4]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题．解：设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，当x=1时显然不满足题意．由题设知当04p时f(p)0恒成立，∴f(0)0,f(4)0即x2-4x+30且x2-10，解得x3或x-1．∴x的取值范围为x3或x-1．二、分离变量对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。三、数形结合对于含参数的不等式问题，当不等式两边的函数图象形状明显，我们可以作出它们的图象，来达到解决问题的目的．例3．设]04[，x，若不等式axxx134)4(恒成立，求a的取值范围．分析与解：若设函数)4(1xxy，则)0(4)2(1212yyx，其图象为上半圆．设函数axy1342，其图象为直线．在同一坐标系内作出函数图象如图，依题意要使半圆恒在直线下方，只有圆心)0,2(到直线yy2y14Ox03334ayx的距离25|338|ad且01a时成立，即a的取值范围为5a．例5、不等式(x-1)2logax在x(1,2)上恒成立，求a的取值范围。分析：这种类型的不等式对高中学生来说直接求解是很困难的，所以一般来说采用数形结合的方法。解：设y1=(x-1)2,y2=logax,如右图所示要使对一切x(1,2),y1y2恒成立，显然须a1,且loga2≥1。1a2四、分类讨论当不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时，应用分类讨论的方法来处理，分类讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素，为问题的解决提供新的条件。例4．当]8,2[x时，不等式1log122xa恒成立，求a的取值范围．解：（1）当1122a时，由题设知xa1212恒成立，即min2121xa，而]8,2[x∴21212a解得),1()1,(a（2）当11202a时，由题设知xa1212恒成立，即max2121xa，而]8,2[x∴81212a解得)43,22()22,43(a．∴a的取值范围是),1()43,22()22,43()1,(a已知函数的单调性求参数范围问题方法：转化为不等式的恒成立问题:即“若函数单调递增,则0)(xf;若函数单调递减,则0)(xf”来求解.例：若函数1)(23axxxf在]2,1[上单调递减,求实数a的取值范围.思路点拨:先求出导函数,再利用导数与单调性的关系或转化为恒成立问题求解.)23(23)(2axxaxxxf解析：方法一：由)(xf在]2,1[上单调递减知0)(xf，即0232axx在]2,1[上恒成立,即xa23在]2,1[上恒成立.故只需max)23(xa,故3a.综上可知，a的取值范围是［3,+∞).方法二：当0a时，0)(xf,故)(xfy在),(上单调递增，与)(xfy在xyo12y1=(x-1)2y2=logax]2,1[上单调递减不符，舍去.当0a时，由0)(xf得a32≤x≤0，即)(xf的单调递减区间为]0,32[a，与)(xf在]2,1[上单调递减不符，舍去.当0a时，由0)(xf得0≤x≤a32，即)(xf的减区间为]32,0[a，由)(xf在]2,1[上单调递减得232a,得a≥3.综上可知，a的取值范围是［3,+∞).练习3．(2012·许昌模拟)若不等式ax2＋bx－2＜0的解集为}412|{xx，则ab＝（）A．－28B．－26C．28D．26解析∵x＝－2，14是方程ax2＋bx－2＝0的两根，∴－2a＝－2×14＝－12，－ba＝－74，∴a＝4，b＝7.∴ab＝28.答案C7.若不等式4|3|bx的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围是.)7,5(8.设函数|1||4|)(xxxf，则)(xf的最小值是3，若5)(xf，则x的取值范围是.]5,0[9.不等式aaxx3|1||3|2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（B）A.),5[]2,(B.),4[]1,(C.]2,1[D.),2[]1,(10．不等式ax2＋2ax＋1≥0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围为________．解析当a＝0时，不等式为1≥0恒成立；当a≠0时，须a＞0，Δ≤0，即a＞0，4a2－4a≤0.∴0＜a≤1，综上0≤a≤1.答案[0,1]12.已知关于x的不等式11axx＜0的解集是1(,1)(,)2.则a.【解析】由不等式判断可得a≠0且不等式等价于1(1)()0axxa由解集特点可得11022aaa且答案：-214.已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．[审题视点]化为标准形式ax2＋bx＋c＞0后分a＝0与a≠0讨论．当a≠0时，有a＞0，Δ＝b2－4ac＜0.解原不等式等价于(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0对一切实数恒成立，显然a＝－2时，解集不是R，因此a≠－2，从而有a＋2＞0，Δ＝42－4a＋2a－1＜0，整理，得a＞－2，a－2a＋3＞0，所以a＞－2，a＜－3或a＞2，所以a＞2.故a的取值范围是(2，＋∞)．不等式ax2＋bx＋c＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＞0；当a≠0时，a＞0，Δ＜0；不等式ax2＋bx＋c＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＜0；当a≠0时，a＜0，Δ＜0.【训练2】当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋40恒成立，则m的取值范围是________．解析法一当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋40可化为：m－x＋4x，又函数f(x)＝－x＋4x在(1,2)上递增，则f(x)－5，则m≤－5.法二设g(x)＝x2＋mx＋4当－m2≤32，即m≥－3时，g(x)＜g(2)＝8＋2m，当－m2＞32，即m＜－3时，g(x)＜g(1)＝5＋m由已知条件可得：m≥－3，8＋2m≤0，或m＜－3，5＋m≤0.解得m≤－5答案(－∞，－5]15.若a∈［1,3］时,不等式ax2+(a-2)x-20恒成立，求实数x的取值范围.15.【解析】设f(a)=a(x2+x)-2x-2，则当a∈［1,3］时f(a)0恒成立.22(1)20,(3)32021,213fxxfxxxxxx或或得x2或x-1.∴实数x的取值范围是x2或x-1.1.（不等式选做题）若关于x的不等式|||1||2|axx…存在实数解，则实数a的取值范围是．【分析】先确定|1||2|xx的取值范围，再使得a能取到此范围内的值即可．【解】当1x„时，|1||2|12213xxxxx…；当12x„时，|1||2|123xxxx；当2x时，|1||2|12213xxxxx；综上可得|1||2|3xx…，所以只要||3a…，解得3a„或3a…，即实数a的取值范围是(,3][3,)．【答案】(,3][3,).1不等式22214xaxax对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是_______．[解析]：不等式22214xaxax对一切xR恒成立,即014)2(2axxa对一切xR恒成立若2a=0,显然不成立若2a0，则002a∴2a2.若不等式x2＋ax＋10对于一切x（0，12）