数学物理方程与特殊函数3

数学物理方程与特殊函数第3章行波法与积分变换法第三章行波法与积分变换法一行波法3适用范围：无界域内波动方程，等…1基本思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。2关键步骤：通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程。数学物理方程与特殊函数第3章行波法与积分变换法xxtxuxxutxxuatu),()0,(),()0,(0,,222220122222tuaxu0122222utax0122utax011utaxtaxtax1tax102uu)(fu)()(21ffuatxatx2xat2ttxxttxx)()(21atxfatxfutax121tax121数学物理方程与特殊函数第3章行波法与积分变换法xxtxuxxutxxuatu),()0,(),()0,(0,,22222)()(21atxfatxfu)()()()0,(21xxfxfxu)()()()0,(21xxfaxfatxuCaxfxfx021d)(1)()(2d)(21)(21)(01Caxxfx2d)(21)(21)(02Caxxfx2d)(21)(212d)(21)(2100CaatxCaatxuatxatx11()()()d22xatxatuxatxata一维波动方程的达朗贝尔公式行波法1t2t2f1f数学物理方程与特殊函数第3章行波法与积分变换法11(,)()()()d22xatxatuxtxatxata结论：达朗贝尔解表示沿x轴正、反向传播的两列波速为a波的叠加，故称为行波法。a.只有初始位移时，代表以速度a沿x轴正向传播的波代表以速度a沿x轴负向传播的波1(,)()()2uxtxatxat()xat()xat4解的物理意义b.只有初始速度时：假使初始速度在区间上是常数，而在此区间外恒等于01(,)()d2xatxatuxta11(,)()()uxtxatxat数学物理方程与特殊函数第3章行波法与积分变换法222|,|,0002xttxtxxttaxeueuxuauatxatxsaatxatxdsaseeexu2222][)(21)()(21解：将初始条件代入达朗贝尔公式atxatxsatxatxdseee221)()(21222][atxatxsatxatxeee222[][21)()(212)(atxe11(,)()()()d22xatxatuxtxatxata5达朗贝尔公式的应用数学物理方程与特殊函数第3章行波法与积分变换法11(,)()()()d22xatxatuxtxatxata1xx2xt2xxat影响区域1xxatx1xxatt1x决定区域2x2xxatxxatxat依赖区间t(,)PxtxatC特征线特征变换行波法又叫特征线法atxatx6相关概念数学物理方程与特殊函数第3章行波法与积分变换法22222(,),,0(,0)(,0)(),(),uuafxtxttxuxuxxxxt7非齐次问题的处理222112211,,0(,0)(,0)(),(),uuaxttxuxuxxxxt222222222(,),,0(,0)(,0)0,0,uuafxtxttxuxuxxt利用叠加原理将问题进行分解：12uuu111(,)()()()d22xatxatuxtxatxata数学物理方程与特殊函数第3章行波法与积分变换法222222222(,),,0(,0)(,0)0,0,uuafxtxttxuxuxxt22222,,(,)(,)0,(,),axttxxxfxxt利用齐次化原理，若满足：则：20(,)(,,)dtuxtxt令：1tt22212211,,0(,0)(,0)0,(,),axttxxxfxxt数学物理方程与特殊函数第3章行波法与积分变换法22212211,,0(,0)(,0)0,(,),axttxxxfxxt11()1()11(,)(,)d(,)d22xatxatxatxatxtffaa20()0()(,)(,,)d1(,)dd2ttxatxatuxtxtfa从而原问题的解为()0()11(,)()()()d221(,)dd2xatxattxatxatuxtxatxatafa数学物理方程与特殊函数第3章行波法与积分变换法0)(22222yuAByxuBAxuyAxyBxxuxuxuxuBuAxuBuAxu22yuyuyuyuuyuuyu22yuBuAyuBuAyxu222222)(yuAByxuBAxu222222222222222222()()2uuuuuuAABBABAABBuuuABuBA22)(uBuA22222222uBuABuAuu222222uuu22222)(uBuBAuA数学物理方程与特殊函数第3章行波法与积分变换法0)(22222yuAByxuBAxuAxyBxy02u22(d)()dd(d)dddd0yABxyABxyAxyBx044222BAABBAacb022222yuaxu222(d)(d)0yax04)(140222aa双曲型方程02222yuxu22(d)(d)0yx011402椭圆型方程222xuatu0014022(d)0y抛物型方程2222220uuuuuABCDEFuxxyyxy22(d)2dd(d)0AyBxyCx特征方程数学物理方程与特殊函数第3章行波法与积分变换法xyxuexuxyyuyxuxux,0)0,(,)0,(,0,03222222222d2dd3dyxyxxy3xy02u)()(21ffu)()3()0,(212xfxfexux)()3(0)0,(21xfxfyxuCxfxf)()3(3121Cexfx4343)3(21Cexfx4343)(9/12Cexfx4343)(22CeCeuxyxy43434343223(d3d)(dd)0yxyx)()3(21xyfxyf2243433xyxyee例1解定解问题解数学物理方程与特殊函数第3章行波法与积分变换法例2求解2222222sin(cos)cos0uuuuxxxxxyyy解：特征方程为222(d)2sindd(cos)(d)0yxxyxx22(dsind)(d)0yxxx(dsindd)(dsindd)0yxxxyxxxdsin1ddsin1dyxxyxx12coscosyxxCyxxC令：coscosxxyxxy20u(,)()()u(,)(cos)(cos)uxyxxyxxy数学物理方程与特殊函数第3章行波法与积分变换法例3求解Goursat问题2222,,0(),0(0)(0)(),0txtxuutxtttxuxxuxx其中＝解：令xtxt200220,0,0(),0(),0uuu2x2t)()(21ffu122()(0)()ff122()()(0)ff2122(,)()(0)()(0)uff12(0)(0)(0)ff12(0)(0)(0)ff(,)()()(0)22xtxtuxy数学物理方程与特殊函数第3章行波法与积分变换法例4求解222222220uuuuuxxyyxyxxyyxy解：特征方程为22(d)2dd(d)0xyxyxyyx2(dd)0xyyx(dd)0xyyxddyyxxddyxyxlnlnlnyxcxyc令：xyy221uu(,)()ln()u数学物理方程与特殊函数第3章行波法与积分变换法补充作业：2222425,0,(,0)(,0)sin,3,uutxtxuxuxxxxt解定解问题数学物理方程与特殊函数第3章行波法与积分变换法二积分变换法1傅立叶变换法(,)(,)d(,)(,)djxjxUtuxtexuxtUte傅立叶变换的定义若在的任意一个区间内满足狄里克莱条件，且存在，则有：()fx(,)()dfxx1()(,)dd2jxjxfxfxtexe在的间断点处，傅立叶积分收敛于()fx1()(0)(0)2fxfxfx数学物理方程与特殊函数第3章行波法与积分变换法傅立叶变换的性质()()(j)()nnfxF微分性j()()afxaFe位移性积分性1()()faxFaa尺度变换性)(j