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0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n1Email:[e-mail]数理方程与特殊函数任课教师：杨春数学科学学院0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n2方程的化简与分类(一)、方程化简、特征方程本次课主要内容(二)、方程分类0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n3一般形式：fcuububuauauayxyyxyxx212212112对象：含两个变元的二阶线性偏微方程。a11,a12,a22,b1,b2,c,f是关于x,y的函数；(一)、方程化简、特征方程f=0时，称方程为齐次方程，否则，方程为非齐次方程。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n4cybxbyayxaxaL21222221222112引入二阶线性偏微分算子：fLu则上面一般形式方程可简记为：0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n5化简方法讨论yxyx,,21总的思路是：通过恰当实可逆变换：fucububuauaua1212212112将方程化为如下形式：使变换后的方程的二阶导数项减少！0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n6具体分析过程yxyx,,21假设引入实可逆变换：fucububuauaua1212212112将原方程变换为：0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n71112111212221222TaaaaQQaaaa那么下面的等式成立。12,,,bLcbLcccff其中：xyxyQ0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n8yyxyyxxxyyxxyyxxaaaaaaaaaaaa221211122221221122222122111122注意到如下等式：如果：12,,,xyxy为方程：2211122220xxyyaaa的解，那么：11220,0aa0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n92211122220(1)xxyyaaa所以，变换就转化为如下方程求解问题！考虑常微分方程：可以证明如下结论：211122220(2)dydyaaadxdx(,)xy是(1)的解的充分必要条件是(,)xyc确定的y=y(x)是(2)的解。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n10xydydx证明：将(3)代入(1)得：如果(,)xy是(1)的解，且设a11与y不等于0。(,)xyc两边对x求导得：(3)xydydx22111222()2()0(4)yyyydydyaaadxdx0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n11同理可证。(4)两边除以211122220dydyaaadxdx2y211122220(2)dydyaaadxdx称方程(2)为特征方程，即：0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n12由(2)得：令：21212112211222aaaadydxa2121122aaa情形1：00.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n13(2)的两个线性无关通解为：1122(,),(,)xycxyc12(,)(,)xyxy121212aububucuf作变换：得到：0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n14tsts再作变换1fhueuduuusttss第二标准形0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n15012(,)(,)xyxyic12(,)(,)xyxy1122121auaububucuf情形2：(2)的两个解为：作变换：得到：0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n160(,)xyc(,)()xyxy或22121aububucuf情形3：(2)的通解为：作变换：得到：0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n17方程化解方法总结1、写出特征方程：2、计算211122220dydyaaadxdx2121122aaa3、作变换(1)、012(,)(,)xyxy0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n18(2)、012(,)(,)xyxy12(,)(,)xyxyic0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n19(3)、0(,)()xyxy或(,)xyc0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n204、求出变换方程：1112111212221222TaaaaQQaaaa12,,,bLcbLcccff其中：xyxyQ0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n21(二）、二阶线性方程分类2121122aaa0(1)双曲型0抛物型0椭圆型(2)(3)说明：分类指点的邻域内的分类！0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n22例1求方程的通解02xxttuau解：此方程是双曲型的第二标准形，但我们要求解它,可将其化成第一标准形的形式，所以先得由特征方程求特征函数：022adtdxadtdx0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n23atxatx11txtxaQa所以1112111212221222TaaaaQQaaaa21101011aaaaa0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n2421101011aaaaa220220aa10bLc20,0bLccf0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n25可得0u11212ugugdfff是原方程的解atxfatxfu210.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n26例2化下面方程为标准型4520xxxyyyxyuuuuu2dyidx解：212112210aaa方程属于椭圆型2yxx0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n272110xyxyQ所以1112111212221222TaaaaQQaaaa2112211025100.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n28100110bLc21,0bLccf0uuu可得标准型：0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n29例3证明二阶线性偏微分经过可逆变换后，其类型保持不变。证明：设方程：fcuububuauauayxyyxyxx212212112经过可逆变换：yxyx,,21化为：0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n30fucububuauaua1212212112因为：222121122121122()()xyyxaaaaaa所以：00,00,00即变形不改变方程类型。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n31作业P36习题2.4第1题的(1),(3)第2题的(2),(4),(6)0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n32ThankYou!