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当前位置:首页 > 商业/管理/HR > 经营企划 > 第四章_图形变换的矩阵方法(已排)
1第4章图形变换的矩阵方法要求:1.掌握各种图形变换的变换矩阵。2.掌握图形变换矩阵的一般形式。3.掌握齐次坐标表示法。计算机产生图形的过程大致可分为三步:图形输入图形处理图形输出计算机对图形数据进行处理,就是图形处理。图形变换---就是要变换图形的几何关系(即改变顶点坐标),同时保持图形的原拓扑关系不变.一般来说,图形从输入到输出贯串着各种变换。被描述的对象所处的环境和显示屏幕的环境是很不同的,不仅位置不同,大多数情况下,尺寸也很不相同。这就要求协调二者的关系。此外,三维的图形要在二维的图纸或屏幕上表示出来要通过投影变换。为了从不同的方向去观察对象,要求能对对象作旋转变换,放大缩小和平移变换更是经常要用的。绘图过程中还要用窗口来规定要显示的内容,用视区来规定在屏幕上或图纸上显示的位置。本章学习实现上述功能的算法。2图形变换几何变换投影变换又称坐标变换:它是将点集的坐标变换达到改变位置、形状几何变换基本变换组合变换:上述变换的连续实施投影变换正投影变换斜投影变换中心变换:三面正投影图、轴测图:斜轴测图变位变换变形变换:旋转、镜像、:比例、错切周分布、阵列、线框图的变换——通常以点变换为基础,把图形的顶点作一系列的几何变换后,连接新的顶点系列即可产生新的图形。用参数方程描述的图形的变换——通过参数方程作几何变换实现。我们在这只讨论图形拓扑关系不变的几何变换。重点讨论线框图的变换。:透视图由于显示器和绘图机只能用二维空间来表示图形,要显示三维图形就要用投影方式来降低其维数。31.二维平面上点的表示法改变顶点坐标,也就是对向量的变换,向量运算必须用矩阵运算来实现。2.图形变换的矩阵表示一对坐标(x,y)一个向量[xy]设:点P(x,y)点P’(x’,y’)其数学表达方法cyaxx';'dybxy矩阵表达方法''yxyxdcbadybxcyax变换后的位置矢量矩阵变换矩阵位置矢量矩阵4.1二维图形变换4就是将图形放大或缩小的变换方法。变换式为:x’=Sx*xy’=Sy*y讨论:1.Sx=Sy=1,点的位置、图形形状不变,又称恒等变换2.Sx=Sy1,点的位置变了、图形放大了Sy倍。3.Sx=Sy1,点的位置变了、图形缩小了Sy倍。''yxyxSySx00图形变化:原有图形放大或缩小的变换参数值:主对角线上元素至少有一个不为1,次对角线上元素全为0。xOy(x,y)(x',y')Sx=1,Sy14.SxSy,图形产生了畸形图形沿两个坐标轴方向作非均匀比例变换。4.1.1比例变换5xOy(x,y)(-x,y)(-x,-y)(x,-y)xOyy=x(x',y')(x,y)xOy=-x(x,y)(x',y')y4.1.2对称变换6yxyxyx10011''2.关于y轴的对称变换yxyxyx1001''3.关于45度平分线的对称变换4.关于-45度平分线的对称变换5.关于坐标原点的对称变换xyyxyx0110''xyyxyx0110''yxyxyx1001''1.关于x轴的对称变换7沿x轴方向的错切变换沿y轴方向的错切变换1.沿X轴方向的错切变换4.1.3错切变换ycyxcyxyx101''(1)变换过程中,点的y坐标保持不变,而x坐标值发生线性变化;(2)平行于X轴的线段变换后仍平行于X轴;(3)平行于Y轴的线段变换后错切成与Y轴成角的直线段(4)X轴上的点在变换过程中保持不变,其余点在变换后都平移了一段距离。(2)沿Y轴方向错切(1)沿X轴方向错切(x,y)(x',y')(x,y)(x',y')8ycyxbyxyx101''(1)变换过程中,点的x坐标保持不变,而y坐标值发生线性变化;(2)平行于Y轴的线段变换后仍平行于Y轴;(3)平行于X轴的线段变换后错切成与X轴成角的直线段(4)Y轴上的点在变换过程中保持不变,其余点在变换后都平移了一段距离。2.沿Y轴方向的错切变换9)cos('OPx)sinsincos(cosOPsincosyx)sin('OPy)sincoscos(sinOPcossinyx''yx][yxcossinsincoscossinsincosyxyx其矩阵表示法:4.1.4绕坐标原点的旋转变换10变换过程为:x’=x+ly’=y+m11ylxm变换矩阵为如变换矩阵改为:ml1001则点的坐标(x,y)(x,y,1)P’=P*T=1yxml10011mylx=xO(x,y)(x',y')y4.1.5平移变换11它是用一个n+1维向量表示一个n维向量的方法如:二维点[xy]用[XYH]表示如:空间点[xyz]用[XYZH]表示正常化齐次坐标怎样由齐次坐标求正常化齐次坐标?H可以任意选取,齐次坐标与普通坐标之间是一一对应关系。如二维平面上的一点[3,4],用齐次坐标表示为[3,4,1][6,8,2][1.5,2,0.5]通常将H=1的齐次坐标称为x=X/Hy=Y/Hz=Z/H齐次坐标表示点,可以防止溢出能将上述的所有变换统一用一个矩阵描述4.1.6齐次坐标与变换通式12snmqdcpbaT比例、反射、旋转、错切投影变换平移总体比例变换snmqdcpbayxHyx]1[]''sqypxHndybxymcyaxx''sqypxndybxysqypxmcyaxx''齐次化坐标4.1.7二维图形变换矩阵的一般形式二维图形变换矩阵的通式T:13(1)复合平移T21*TT101000111nm101000122nm10100012121nnmm(2)复合比例T21*TT100000011da100000022da0100*000*1121ddaa组合变换:由多个基本变换的连续实施而成的复杂变换,又称基本变换的级连.4.1.8二维组合变换14(3)复合旋转T21*TT1000cossin0sincos11111000cossin0sincos22221000)cos()sin(0)sin()cos(21212121151cossinsincos0cossin0sincos1000cossin0sincos10100011nmnmnmT*先平移,再旋转*先旋转,再平移10cossin0sincos10100011000cossin0sincos1nmnmT级联的顺序不同,最终的图形不同ABBA由于矩阵乘法不满足交换率,(4)级联顺序对组合变换的影响1610100011nmT1000cossin0sincos2T3.将图形从原点平移到p(m,n)10100013nmT1.将图形从点p(m,n)平移到原点O2.绕原点旋转P(m,n)0P(m,n)0P(m,n)0P(m,n)0(1)(2)(3)(5)绕平面上任意点P(m,n)的二维旋转变换17T1*T2*T31010001nm1000cossin0sincos1010001nm1cossinsincos0cossin0sincosnmnnmmT===绕平面上任意点p(m,n)的二维旋转变换的总变换矩阵18设直线方程Ax+By+C=0Ax+By+C=0-C/B-C/AEFF‘E’G’G则:x轴上的截距为-C/Ay轴上的截距为-C/B斜率为-A/B10/0100011ACT2.让直线绕原点顺时针旋转角,使之与X轴重合1000)cos()sin(0)sin()cos(2T1.将直线沿X轴平移C/A,使之过原点对任意直线的对称变换可分解为以下五步:(6)对任意直线的对称变换193.图形对直线的对称变换变成对x轴的对称变换1000100013T4.让直线绕原点逆时针旋转角,恢复到原来的倾斜位置1000cossin0sincos4T10/0100015ACT5.将直线平移回原来的位置T54321TTTTT12sin/)12(cos/02cos2sin02sin2cosACAC组合变换矩阵20三维图形变换矩阵通式为4x4方阵比例、反射、旋转、错切平移投影变换总体比例变换空间点[xyz]的四维齐次坐标[XYZH]表示三维空间点的变换为[xyz1]T=[x’y’z’1]变换前点的坐标变换后点的坐标三维图形的变换矩阵33xjihfedcba[lmn]1x3[pqr]T[s]1x1srqpnjfcmieblhdaT4.2三维图形变换21三维图的基本变换4.2.2轴向比例变换变换矩阵主对角线上的元素a、e、j、s的作用是是图形产生比例变换。sT0000100001000011000000000000jeaT0S1,为图形整体放大S1,为图形整体缩小S0,为对称变换+比例变换S=1,为恒等变换[xyz1]T=[xyzs]=[x/sy/sz/s1][xyz1]T=[axeyjz1]=[x’y’z’1]若a=e=j,,则图形三方向的缩放比例相同若aej,,则图形将产生类似变形zxy4.2.1全比例变换221.对OXY平面的反射特点:xy值不变,z坐标符号改变1000010000100001T[xyz1]T=[xy-z1]2.对YOZ平面的反射特点:zy值不变,x坐标符号改变1000010000100001T[xyz1]T=[-xyz1]3.对XOZ平面的反射特点:xz值不变,y坐标符号改变1000010000100001T[xyz1]T=[x-yz1]4.2.3对称变换23指空间的立体从一个位置移动到另一位置时,其形状、大小都不发生变换的变换。1000100010001nmlT[xyz1]T=[x+ly+mz+n1]x’xz’zy’yxzy4.2.4平移变换24例:一单位立方体,现将它沿x方向移动3单位,y方向移动2单位,z方向移动3.5单位10005.310020103001T00010011010101111001101111011111[S]*T=10005.310020103001=323.51324.51333.51334.51423.51424.51433.51434.5125三维旋转变换指空间立体绕一轴旋转角,且角的正负按右手定则决定。1.绕X轴旋转角X坐标不变Y、Z坐标发生变化10000cossin00sincos00001T2
本文标题:第四章_图形变换的矩阵方法(已排)
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