!定积分计算方法总结

1摘要定积分是数学分析中的一个基本问题，而计算定积分是最基本最重要的问题.它在许多实际问题有着广泛的应用.下面针对定积分的计算方法做一个比较详细的总结，常见的包括分项积分、分段积分法、换元积分法、分部积分法.但对于不能直接找出原函数的定积分，或者被积函数比较复杂时，往往是比较难求出原函数的，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.针对这样的情形，本文总结用欧拉积分求解定积分、留数在定积分上的运用、巧用二重积分求解定积分、反函数求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用，并列举相应的例子进行说明.关键词:定积分;被积函数;原函数;牛顿-莱布尼兹公式2目录1引言2定计算的计算方法2.1分项积分法·················································(1)2.2分段积分法·················································(2)2.3换元积分法················································(3)2.4分部积分法················································（5）2.5欧拉积分在定积分计算中的应用·······························（9）2.6留数在定积分计算上的应用···································（10）2.7巧用二重积分求解定积分·····································（10）2.8反函数法求解定积分·········································（10）2.9带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用·····················（11）3总3结················································(12）浅谈定积分的计算1.引言定积分的计算是微积分学的重要内容，其应用十分广泛，它是包括数学及其其他学科的基础.本文归纳总结了常见的定积分计算方法(如[1-4])，其中包括分项积分法、分段积分法、换元积分法以及分部积分法.另外对于找不出原函数的定积分，或者被积函数十分复杂时，往往是很难求出其原函数，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.针对这样的情形，我们有必要在此基础上研究出新的计算方法.对此本文总结了一些另外的方法(如[5-9])，其中包括欧拉积分求解定积分、运用留数计算定积分、巧用二重积分求解定积分、反函数法求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用,进行了一一列举，并通过例子加以说明.2.定积分的计算方法2.1分项积分法我们常把一个复杂的函数分解成几个简单的函数之和：1122()()fxkgxkgx()+，4若右端的积分会求，则应用法则1122()()bbbaaafxdxkgxdxkgxdx()+,其中1k，2k是不全为零的任意常数，就可求出积分()bafxdx，这就是分项积分法.例2-1[1]计算定积分414221(1)dxxx.解利用加减一项进行拆项得414221(1)dxxx=2241422(1)(1)xxdxxx=41421dxx2241222(1)(1)xxdxxx=41421dxx41221dxx+412211dxx=313x412+4121x+arctanx412.=364415arctan323.例2-2计算定积分211xdxxx.解记J211xdxxx=2221(1)()(1)xxxdxxx=3221xdx+211xxdx再将第二项拆开得J=3221xdx+3221(1)xdx+1221(1)xdx=522125x+52212(1)5x+32212(1)3x=52225+23.2.2分段积分法分段函数的定积分要分段进行计算，这里重要的是搞清楚积分限与分段函数的分界点之间的位置关系，以便对定积分进行正确的分段.被积函数中含有绝对值时，也可以看成分段函数，这是因为正数与负数的绝对值是以不同的方式定义的，0就是其分界点.例2-3[2]计算定积分221(1)min,cos2xxdx.5解由于1min,cos2x为偶函数，在0,2上的分界点为3，所以221(1)min,cos2xxdx=221min,cos2xxdx+2012min,cos2xdx=0320312(cos)2dxxdx=233.例2-4计算定积分20(1)fxdx，其中1,011,01()xxxxefx.解由于函数()fx的分界点为0，所以，令1tx后，有20(1)fxdx=11()ftdt=0111xdxe+1011dxx=011xxedxe+10ln(1)x=01ln(1)xe+ln2=ln(1)e.2.3换元积分法（变量替换法）换元积分法可以分为两种类型：2.3.1第一类换元积分法（也被俗称为“凑微分法”）例2-5[3]计算定积分21sintandxxx.解21sintandxxx=21cossin(1cos)xdxxx=22213cossin224sincos22xxdxxx=2211tan2tan22tan2xxdx=2111(tan)tan222tan2xxdx=2221111lntantan2242xx=21111lntantan2424.例2-6计算定积分224011xdxx.6解224011xdxx=22022111xdxxx=202211()1dxxxx=20211()1()2dxxxx=220011()()11122()2()2dxdxxxxxxx=1212ln10222xxxx=11ln522.2.3.2第二换元积分法常用的变量替换有：①三角替换；②幂函数替换；③指数函数替换④倒替换．下面具体介绍这些方法．①三角替换例2-7[4]计算定积分31240(1)xxdx.解由于31240(1)xxdx=3124201(1)2xdx，故可令2sinxt，于是31240(1)xxdx=arcsin1401cos2tdt=2arcsin101(1cos2)8tdt=arcsin101(12cos28t1cos4)2tdt=arcsin1011(32sin2sin4)164ttt=21(34sin1sin16ttt22arcsin10sin1sin(1sin))ttt=224244101(3arcsin41(12)1)16xxxxxx=22464101(3arcsin5121)16xxxxx=3arcsin116.7②幂函数替换例2-8计算定积分220sinsincosxdxxx.解作变量代换2xt，得到220sinsincosxdxxx=220cossincostdttt，因此220sinsincosxdxxx=2222001sincos()2sincossincosxtdxdtxxtt=20112sincosdxxx=201122sin()4dxx=34411sin22dxx=34411cos(ln)sin22xx=1ln(12)2.③倒替换例2-9计算定积分31212321dxxxx+--ò.解31221321dxxxx=312122213dxxxx令1tx得312122213dxxxx=31214(1)dtt=3111arcsin2t=6.2.4分部积分法定理3-1[5]若()x，()x在,ab上连续，则bbbaaauvdxuvuvdx或bbbaaaudvuvvdu.利用分部积分求()bafxdx的解题方法8（1）首先要将它写成baudv()bauvdx或得形式．选择,uv，使用分布积分法的常见题型：表一被积函数的形式所用方法()xnPxe，()sinnPxx，()cosnPxx，其中()nPx为n次多项式，为常数进行n次分部积分，每次均取xe，sinx，cosx为()vx，多项式部分为()ux()nPxlnx,()nPxarcsinx，()nPxarctanx即多项式与对数函数或反三角函数的乘机取()nPx为()vx，lnx，arcsinx，arctanx等为()ux．分部积分一次后被积函数的形式发生变化xesinx，xecosx取xe=()vx（或()ux），sinx，cosx为()ux（或()vx），进行两次分部积分（2）多次应用分部积分法，每分部积分一次得以简化，直至最后求出．（3）用分部积分法有时可导出()bafxdx的方程，然后解出．（4）有时用分部积分法可导出递推公式．例2-10[6]计算定积分2220sinxxdx.9解于21sin(1cos2)2xx，所以2220sinxxdx=2201(1cos2)2xxdx=32220011sin264xxdx连续使用分部积分得2220sinxxdx=322200111(sin2)sin2642xxxxxdx=322200111(sin2)cos2644xxxxdx=32201111(sin2cos2sin2)6448xxxxxx=3488.例2-11[7]计算定积分220sinxxexdx．解因为20sinxexdx=20sinxxde=20sinxex20cosxxde=20(sincos)xexx20sinxexdx所以20sinxexdx=1220(sincos)xexx=21(1)2e于是20cosxexdx=cosxex20+20sinxexdx=201(sincos)2xexx=21(1)2e从而220sinxxexdx=2201(sincos)2xxdexx=2201(sincos)2xxexx20(sincos)xxexxdx=2201(sincos)2xxexx201(sincos)2xxdexx201(sincos)2xxdexx10=2201(sincos)2xxexx201(sincos)2xxexx201(sincos)2xexxdx201(sincos)2xxexx201(sincos)2xexxdx=2201(sincos)2xxexx20cosxxex20cosxexdx=2201(sincos)2xxexx20cosxxex201(sincos)2xexx=22201(1)sin(1)cos2xexxxx=221(1)242e.例2-12[8]计算定积分0sinnxxdx，其中n为正整数．解(21)2sinkkxxdx=(21)2sinkkxxdx作变量替换2txk得(21)2sinkkxxdx=0(2)sintktdt=00sin2sinttdtktdt=000coscos2costttdtkt=(41)k(22)(21)sinkkxxdx=(22)(21)sinkkxxdx