河北省唐山市2019届高三年级摸底考试(数学理)

·1·河北省唐山市2019届高三年级摸底考试理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1,2,3,4,5A，且1,2,31,2A，则满足条件的集合A的个数是（）A．2B．4C．8D．162.已知复数满足133izi，则z（）A．3322iB．3322iC．3344iD．3344i3.某班学生一次数学考试成绩频率分布直方图如图所示，数据分组依次为70,90,90,110,110,130,130,150，若成绩大于等于90分的人数为36，则成绩在110,130的人数为（）A．12B．9C．15D．184.设函数,yfxxR，“yfx是偶函数”是“yfx的图象关于原点对称”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5.设12,FF是双曲线2214xy的两个焦点，P在双曲线上，且01290FPF，则12FPF的面积为（）·2·A．1B．2C．52D．56.要得到函数2sinxcosx,xfxR的图像，只需将函数22cos1,gxxxR的图像（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向左平移4个单位D．向右平移4个单位7.执行如图所示的程序框图，若输入1,2ab，则输出的x（）A．1.25B．1.375C．1.4375D．1.406258.设0x是方程13xx的解，则0x所在的范围是（）A．10,3B．11,32C．12,23D．2,139.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）·3·A．6226B．622C．3D．8310.把长为80cm的铁丝随机截成三段，则每段铁丝长度都不小于20cm的概率是（）A．116B．18C．14D．31611.在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，4,,,PAABEFH分别是棱,,PBBCPD的中点，则过,F,HE的平面截四棱锥PABCD所得截面面积为（）A．26B．46C．56D．234612.设函数3213853fxxxaxa，若存在唯一的正整数0x，使得00fx，则a的取值范围是（）A．11,156B．11,154C．11,64D．15,418第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.已知复数z满足14izi，则z___________．14.若1tan2，则cos2__________．15.已知抛物线24xy与圆222:120Cxyrr有公共点P，若抛物线在P点处的切线与圆C也相切，则r_________．16.如图，在平面四边形ABCD中，8,5,33ABADCD，0060,150AD，则·4·BC_________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.其中（17）--（21）题必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）设nS为等差数列na的前n项和，1015110,240SS．（1）求数列na的通项公式；（2）令112nnnnnaabaa，求数列nb的前n项和nT．18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面,,ABCDBCPBPC与平面ABCD所成角的正切值为22，BCD为等边三角形，22,,PAABADE为PC的中点．（1）求AB；（2）求点E到平面PBD的距离．19.（本小题满分12分）某班一次数学考试成绩频率分布直方图如图所示，数据分组依次为70,90,90,110,110,130,130,150，已知成绩大于等于90分的人数为36人，现采用分层抽·5·样的方式抽取一个容量为10的样本．（1）求每个分组所抽取的学生人数；（2）从数学成绩在110,150的样本中任取2人，求恰有1人成绩在110,130的概率．20.（本小题满分12分）如图，过椭圆2222:10xyEabab上一点P向x轴作垂线，垂足为左焦点F，,AB分别为E的右顶点，上顶点，且//,21ABOPAF．（1）求椭圆E的方程；（2）,CD为E上的两点，若四边形ACBD（,C,B,DA逆时针排列）的对角线CD所在直线的斜率为1，求四边形ACBD面积S的最大值．21.（本小题满分12分）已知函数1lnfxxx．（1）求fx的最小值；·6·（2）若方程fxa有两个根1212,xxxx，证明：122xx．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，ABC与ABD都是以AB为斜边的直角三角形，O为线段AB上一点，BD平分ABC，且//ODBC．（1）证明：,,,ABCD四点共圆，且O为圆心；（2）AC与BD相交于点F，若26,5BCCFAF，求,CD之间的距离．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程是2．矩形ABCD内接于曲线1C，,AB两点的极坐标分别为2,6和52,6．将曲线1C上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的一半，得到曲线2C．（1）写出,CD的直角坐标及曲线2C的参数方程；（2）设M为2C上任意一点，求2222MAMBMCMD的取值范围．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数11fxxmx．（1）若1m，求fx的最小值，并指出此时x的取值范围；（2）若2fxx，求m的取值范围．·7·唐山市2019学年度高三年级摸底考试理科数学参考答案一、选择题：A卷：BCABADCBDACAB卷：CCBBADCBDDCA二、填空题：（13）3；（14）14；（15）2；（16）70．三、解答题：（17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设公差为d，依题意有10a1＋1092d＝110，15a1＋15142d＝240．解得，a1＝d＝2．所以，an＝2n．…6分·8·（Ⅱ）bn＝2n＋22n＋2n2n＋2＝n＋1n＋nn＋1＝1n－1n＋1＋2，Tn＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1＋2n＝nn＋1＋2n．…12分（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）连AC，因为△BCD为等边三角形，所以∠ABD＝30°．又已知AB＝AD，BD＝3，可得AB＝1．…5分（Ⅱ）分别以BC，BA所在直线为x，y轴，过B且平行PA的直线为z轴建立空间直角坐标系．P(0，1，3)，C(3，0，0)，E(32，12，32)，D(32，32，0)．由题意可知平面PAB的法向量为m＝(1，0，0)．设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，则BE→·n＝0，BD→·n＝0，即32x＋12y＋32z＝0，32x＋32y＝0，则n＝(3，－3，－2)．cosm，n＝31－30－2032＋(－3)2＋(－2)2＝34．所以平面BDE与平面ABP所成二面角的正弦值74．…12分·9·（19）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知可得：m2n2＝9100，(1－m)2(1－n)2＝125，m＞n，解得：m＝35，n＝12．（Ⅱ）X可取0，1，2，3，4．…5分P(X＝0)＝125，P(X＝1)＝C12×35×(1－35)×(1－12)2＋(1－35)2×C12×12×(1－12)＝15，P(X＝2)＝C12×35×(1－35)×C12×12×(1－12)＋(35)2×(1－12)2＋(1－35)2×(1－12)2＝37100，P(X＝3)＝C12×35×(1－35)×(12)2＋(35)2×C12×12×(1－12)＝310，P(X＝4)＝9100．X的分布列为X01234P12515371003109100E(X)＝0×125＋1×15＋2×37100＋3×310＋4×9100＝2.2…12分（20）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设焦距为2c，则P(－c,b2a)．由AB∥OP得b2ac＝ba，则b＝c，a＝2c，则|AF|＝a＋c＝(2＋1)c，又|AF|＝2＋1，则c＝1，b＝1，a＝2，椭圆E的方程为x22＋y2＝1.…4分（Ⅱ）CD：y＝kx，设C(x1,y1)，D(x2,y2),到AB的距离分别为d1，d2，·10·将y＝kx代入x22＋y2＝1得x2＝21＋2k2，则x1＝21＋2k2，x2＝－21＋2k2．由A(2,0)，B(0,1)得|AB|＝3,且AB：x＋2y－2＝0，d1＝x1＋2y1－23,d2＝－x2＋2y2－23，S＝12|AB|(d1＋d2)＝12＝12(1＋2k)(x1－x2)＝2＋2k1＋2k2，S2＝2(1＋22k1＋2k2)，因为1＋2k2≥22k，当且仅当2k2＝1时取等号，所以当k＝22时，四边形ACBD的面积S取得最大值2．…12分（21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）f(x)＝1x－ax2＝x－ax2，（x＞0）所以当a≤0时，f(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＞0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．…5分（Ⅱ）若函数y＝f(x)的两个零点为x1，x2（x1＜x2），由（Ⅰ）可得0＜x1＜a＜x2．令g(x)＝f(x)－f(2a－x)，（0＜x＜a）则g(x)＝f(x)＋f(2a－x)＝(x－a)[1x2－1(2a－x)2]＜0，所以g(x)在(0，a)上单调递减，g(x)＞g(a)＝0，即f(x)＞f(2a－x)．令x＝x1＜a，则f(x1)＞f(2a－x1)，所以f(x2)＝f(x1)＞f(2a－x1)，由（Ⅰ）可得f(x)在(a，＋∞)上单调递增，所以x2＞2a－x1，故x1＋x2＞2a．…12分（22）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）因为△ABC与△ABD都是以AB为斜边的直角三角形，所以A，B，C，D四点都在以AB为直径的圆上．因为BD平分∠ABC，且OD∥BC，·11·所以∠OBD＝∠CBD＝∠ODB，OB＝OD．又∠OAD＋∠OBD＝90°，∠ODA＋∠ODB＝90°，所以∠OAD＝∠ODA，OA＝OD．所以OA＝OB，O是AB的中点，O为圆心．…5分（Ⅱ）由BC＝2CF＝6，得BF＝35,由Rt△ADF∽Rt△BCF得ADDF＝BCCF＝2．设AD＝2DF＝2x，则AF＝5x，由BD平分∠ABC得BDDA＝BCCF＝2，所以35＋x2x＝2，解得x＝5，即AD＝25．连CD，由（Ⅰ），CD＝AD＝25．…10分（23）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由A(3,1)、B(－3,1)得C(－3,－1)、D(3,－1)；曲线C2的参数方程为x＝2cosθ，y＝sinθ（θ为参数）．…4分（Ⅱ）设M(2cosθ,sinθ),则|MA|2＋|MB|2＋|MC|2＋|MD|2＝(2cosθ－3)2＋(sinθ－1)2＋(2cosθ＋3)2＋(sinθ－1)2＋(2cosθ＋3)2＋(sinθ＋1)2＋(2cosθ－3)2＋(sinθ＋1)2＝16cos2θ＋4sin2θ＋16＝12cos2θ＋20，则所求的取值范围是．…10分（24）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）f(x)＝|x＋1|＋|x－1|≥|(x＋1)－(x－1)|＝2，当且仅当(x＋1)(x－1)≤0时取等号．故f(x)的最小值为2，此时x的取值范围是．…5分（Ⅱ）x≤0时，f(x)≥2x显然成立，所以此时m∈R；x＞0时，由f(x)＝x＋1＋|